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第4讲 函数的零点问题
1. 函数的零点问题是高考的重点和难点内容，由于它和函数、方程有着密切的联系，所以需要我们熟悉函数的图象与性质，理解函数与方程等思想．
2. 在使用函数零点存在性定理时要注意两点：一是当函数值在一个区间上不变号时，无论这个函数单调性如何，这个函数在这个区间上都不会有零点；二是此定理只能判断函数在一个区间上是否存在零点，而不能判断在这个区间上零点的个数．
1
1. 函数f(x)＝lg x＋的零点是__________．
2答案：
10 10
11110
解析：因为lg x＋＝0，所以lg x＝－，所以x＝10－＝. 22210
2x
2. (2024·汇龙中学)函数f(x)＝2－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取
x
值范围是________．
答案：(0，3)
解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)＜0，解得0＜a＜3.
3. (2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)已知函数f(x)＝?－x＋m，x＜0，??2其中m＞0，若函数y＝f(f(x))－1有3个不同的零点，则实数m的取值范?x－1，x≥0，?
围是________．
答案：(0，1) 解析：令f(f(x))＝1，得f(x)＝2或f(x)＝m－1＜0，进一步得x＝2＋1或x＝m－2＜0或x＝m.因为已知m＞0，所以只要m＜1即可，即得0＜m＜1.
x
4. (2024·南京师大附中)已知函数f(x)＝a＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其
ab中常数a，b满足2＝3，3＝2，则n的值是________．
答案：－1
1
解析：依题意得a>1，0
a又f(x)在R上单调递增，所以x0∈(－1，0)，n＝－1.
, 一) 确定零点所在的区间
111
, 1) 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx.若f′(1)＝－a，3a>2c>2b，试问：
322
导函数f′(x)在区间(0，2)内是否有零点？并说明理由．
12
解：因为f′(x)＝ax＋bx＋c，f′(1)＝－a，
2
1
所以a＋b＋c＝－a，
2
即3a＋2b＋2c＝0. 因为3a>2c>2b，
所以3a>0，2b<0，即a>0，b<0.
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2024届高考数学二轮复习专题一函数第4讲函数的零点问题学案
