（浙江专用）2024版高考数学大一轮复习 高考专题突破三 高考中的
数列问题教师用书
1．(2016·金华十校高三上学期调研)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S2＝a3，且
a1，a2，ak成等比数列，则k等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4 答案 D
解析 设公差为d，则2＋d＝1＋2d， ∴d＝1，∴an＝n，
由a2＝a1·ak，得4＝1×k，∴k＝4.
?1?
?的前100项和为( ) 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列?
?anan＋1?
2
A.C.
10099B. 10110199101D. 100100
答案 A
解析 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
a1＋4d＝5，??
∵a5＝5，S5＝15，∴?－
5a1＋?2?
∴an＝a1＋(n－1)d＝n. ∴
1
d＝15，
??a1＝1，
∴?
?d＝1，?
anan＋1
＝1
nn＋11＝－， nn＋1
∴数列?
1??1??11??1－1?＝1－1＝100. ?的前100项和为?1－?＋?－?＋…＋??101101?2??23??100101??anan＋1?
?
3．(2016·杭州学军中学模拟)已知等比数列{an}的公比q>0，前n项和为Sn.若2a3，a5,3a4成等差数列，a2a4a6＝64，则q＝________，Sn＝________. 2－1
答案 2 2
解析 由a2a4a6＝64，得a4＝64，解得a4＝4. 2a4
由2a3，a5,3a4成等差数列，得2a4q＝3a4＋，
3
nq81
即8q＝12＋，解得q＝2或q＝－(舍去)．
q21n－2213
又a1q＝4，所以a1＝，所以Sn＝
21－2
2－1
＝.
2
n4．(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________. 1
答案 －
n解析 由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，因为Sn≠0，所以＝1，即1
?Sn?
Sn＋1－SnSnSn＋1SnSn＋1Sn?1?111
－＝－1，故数列??是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝－1
S1
1
－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.
n
题型一 等差数列、等比数列的综合问题
例1 (2016·四川)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n 项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中
q>0，n∈N*.
(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
y2222
(2)设双曲线x－2＝1的离心率为en，且e2＝2，求e1＋e2＋…＋en.
an2
解 (1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得an＋2＝qan＋1，n≥1. 又由S2＝qS1＋1得a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列． 从而an＝q所以an＝2
n－1
.由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2. (n∈N)．
n－1*
n－1
(2)由(1)可知，an＝q2
，
n－
y22
所以双曲线x－2＝1的离心率en＝1＋an＝1＋qan由e2＝1＋q＝2，解得q＝3， 所以e1＋e2＋…＋en
＝(1＋1)＋(1＋q)＋…＋[1＋q＝n＋[1＋q＋…＋q2
2(n－1)2
2(n－1)
2
2
2
2
.
]
]
q2n－11n＝n＋2＝n＋(3－1)．
q－12
思维升华 等差数列、等比数列综合问题的解题策略
(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．
(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．
3*
已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N)，且S3＋a3，
2
S5＋a5，S4＋a4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
1*
(2)设Tn＝Sn－(n∈N)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．
Sn解 (1)设等比数列{an}的公比为q， 因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列， 所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，
a512
于是q＝＝.
a34
31
又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.
223?1?n－1
故等比数列{an}的通项公式为an＝×?－?
2?2?＝(－1)
n－1
3·n. 2
n1
1＋，n为奇数，?1??2?(2)由(1)，得S＝1－?－?＝??2?11－??2，n为偶数.
nnn
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小， 3
所以1 2 11325 故0 SnS1236当n为偶数时，Sn随n的增大而增大， 3 所以＝S2≤Sn<1， 4 11347 故0>Sn－≥S2－＝－＝－. SnS24312715* 综上，对于n∈N，总有－≤Sn－≤. 12Sn6 57 所以数列{Tn}的最大项的值为，最小项的值为－. 612题型二 数列的通项与求和 例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式． (1)证明 ∵an＋Sn＝n，① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.② ②－①，得an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， ∴ an＋1－11 ＝，∴{an－1}是等比数列． an－12 ∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1. 111∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝. 222又cn＝an－1， 11 ∴{cn}是以－为首项，为公比的等比数列． 2211n－11n(2)解 由(1)可知cn＝(－)·()＝－()， 2221n∴an＝cn＋1＝1－(). 2∴当n≥2时，bn＝an－an－1 1n1n－1 ＝1－()－[1－()] 221n－11n1n＝()－()＝(). 222 11n又b1＝a1＝，代入上式也符合，∴bn＝(). 22 思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息．(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项相消法等． 1n＋1 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an. 22n(1)证明：数列{}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn. 1n＋1 (1)证明 ∵a1＝，an＋1＝an， 22n当n∈N时，≠0. * annanna11an＋1an1*又＝，∶＝(n∈N)为常数， 12n＋1n2an11 ∴{}是以为首项，为公比的等比数列． n22an11 (2)解 由{}是以为首项，为公比的等比数列， n22an11n－11n得＝·()，∴an＝n·(). n222 112131n∴Sn＝1·＋2·()＋3·()＋…＋n·()， 222211111 Sn＝1·()2＋2·()3＋…＋(n－1)()n＋n·()n＋1， 222221112131n1n＋1∴Sn＝＋()＋()＋…＋()－n·() 22222211－22 1 1－2 n＋1 ＝ 1n＋1 －n·()， 2 1n－11n∴Sn＝2－()－n·() 221n＝2－(n＋2)·(). 2 1n1n综上，an＝n·()，Sn＝2－(n＋2)·(). 22题型三 数列与其他知识的交汇 命题点1 数列与函数的交汇 例3 (2016·温州十校联考)已知二次函数f(x)＝ax＋bx的图象过点(－4n,0)，且f′(0)＝2n，n∈N，数列{an}满足* 2 1 an＋1 ?1?＝f′??，且a1＝4. a?n? (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)f′(x)＝2ax＋b，由题意知b＝2n,16na－4nb＝0， 2
精选浙江专用2024版高考数学大一轮复习高考专题突破三高考中的数列问题教师用书
