§2.2 连续函数的性质
? 连续函数的局部性质
若函数f在点x0连续，则f在点x0有极限，且极限值等于函数值f(x0)。从而，根据函数极限的性质能推断出函数f在U(x0)的性态。
定理1（局部有界性） 若函数f在点x0连续，，则f在某U(x0)内有界。
定理2（局部保号性） 若函数f在点x0连续，且f(x0)?0（或?0），则对任何正数r?f(x0)（或r??f(x0)），存在某U(x0)，使得对一切。 x?U(x0)有f(x)?r（或f(x)??r）
注： 在具体应用局部保号性时，常取r?时，存在某U(x0)，使在其内有f(x)?1f(x0)，则当f(x0)?021f(x0)。 2定理3（四则运算） 若函数f和g在点x0连续，则（这里g(x0)?0）也都在点x0连续。
关于复合函数的连续性，有如下定理:
f?g,f?g,fg定理4 若函数f在点x0连续，g在点u0连续，u0?f(x0)，则复合函数g?f在点x0连续。
证明：由于g在点u0连续，???0,??1?0，使得当|u?u0|??1时有
|g(u)?g(u0)|??。
（1）
?0，
又由u0?f(x0)及u?f(x)f在点x0连续，故对上述?1，存在?使得当|x?x0|??时有|u?u0|?|f(x)?f(x0)|??1，联系（1）式得:对任给的??0，存在??0，使得当|x?x0|??时有 |g(f(x))?g(f(x0))|??。
这
就证明了g?f在点x0连续。
注：根据连续必的定义，上述定理的结论可表为
x?x0limg(f(x))?g(limf(x))?g(f(x0))
x?x0
与
定理5
x?x0?0x?x0limf?x?存在的充要条件是
x?x0?0limf?x??f?x0?0?limf?x??f?x0?0?存在并且相等．
limf?x??A?limf?x?，从?0x?x0证明：必要性显然，仅须证充分性．设而对任给的?x?x0?0?0，存在?1?0和?2?0，当 0?x?x0??1时，
f?x??A?? ①
当 －?2?x?x0?0时， f?x??A?? ②
取??min??1,?2??0时，当0?x?x0??时，则0?x?x0??和
???x?x0?0
二者必居其一，从而满足①或②，所以
f?x??A??．
定理6 函数f?x?在x0点连续的充要条件是f?x?左连续且右连续．
f?x??f?x0?．注意左连续即为证明：f?x?在x0点连续即为xlim?x0f?x0?0??f?x0?，右连续即为f?x0?0??f?x0?，用定理
5即可证．
此外，在讨论函数的极限时往往必须把连续变量离散化，下面我们来讨论这方面的问题．
f?x?存在的充分必要条件是对任定理7 海涅（Heine）定理：xlim?x0xn给的序列?xn?，若满足limn???x0（xn?x0），则有limf?xn?存在．
n??分析：必要性的证明是显然．充分性的证明我们用反证法．
f?x??A，则对任给的?证明：必要性。设xlim?x0?0，存在??0，当
0?x?x0??时， f?x??A??
xn设limn?? ①
，当n?N时，0?xn?x0??，
?x0（xn?x0），则存在Nf?xn??A． 从而满足 ①，即f?xn??A??，亦即limn??xn充分性。 （１） 先证若limn??limyn?x0,?yn?x0?，?x0（xn?x0），
n??则
?xk取zn???ykn?2k?1,n?2k,n??limf?xn??limf?yn?．
n??n??zn 则limn???x0,?zn?x0?，从而limf?zn?
n??存在且
limf?zn??limf?z2n?1??limf?xn??limf?z2n??limf?yn?．
n??n??n??n??xn于是对任给的序列?xn?，若limn???x0（xn?x0），则limf?xn?存
n??在且极限值与?xn?的选取无关，记为A．
f?x??A（反证法）f?x??A，则有?0?0，(2) 证明xlim，若xlim?x?x00对任给的??0，总有x?满足0?x??x0??且使得f?x???A??0． ?1，则有x1满足0?x1?x0??，使得
取?f?x1??A??0
取??11?，则有x2满足0?x2?x0?min??,x1?x0?，使得 2?2?f?x2??A??0，
? ?
取??11?，则有xn满足0?xn?x0?min?,x?x?n?10?，使得 nn??f?xn??A??0，
? ?
xn由此可以找到?xn?满足limn???x0（xn?x0），且 f?xn??A??0?0，
即此时
limf?xn??A，这与（１）的结论矛盾．
n??
? 闭区间上连续函数的基本性质
设f为闭区间[a,b]上的连续函数，本段中我们讨论f在[a,b]上的整体性质。
定义1：设f为定义在数集D上的函数。若存在x0?D，使得对一
切x?D有
f(x0)?f(x)(f(x0)?f(x)), 则称f在D上有最大值（最
小值），并称f(x0)为f在D上的最大值（最小值）。
例如，sinx在[0,?]上有最大值1，最小值0。但一般而言，函数f在其定义域D上不一定有最大值或最小值（即使f在D上有界）。如f(x)?x在(0,1)上既无最大值也无最小值。又如
?1g(x)?它在闭区间[0,1]上也无最大、最小值。下述定理给出了函数能取得最大、最小值的充分条件。定理8（最大、最小值定理）f在[a,b]上有最大值与最小值；值． 分析：设M?sup?f?x?，则x??a,bf?x0??M．
证明：设M?supf?x?，则x??a,b?f?xk??M?1k．
由?xk?有界，按致密性定理（问题子序列?xnk?，limk??xnk?x0，x0limk??f(xnk)?M，另一方面由连续性f?x0??M．
同理，我们可证，?a,b?上的连续函数值．此外，这里a?xnk?b（a?x0?b．
x,x?(0,1),2,x?0,1
若函数f在闭区间[a,b]上连续，则
或称函数f?x?在?a,b?上达到最大
题所要证的是存在x0??a,b?，有
任给的k?N，有xk??a,b?，使得
1.1.11），从而可选取?xk?的
?a,b?，一方面M?f(xnk)?M?1n，得
klimk??f(xnk)?f?x0?，由此
f?x?在?a,b?上可达到最小k?１,２,?）按极限的保序性有
??
?? 问对?例1：设?fn?x??为有界闭区间?a,b?上一连续函数列，且
?1? ?2?f1?x??f2?x???fn?x??fn?1?x???，
f?x??limfn?x?处处存在．
n??
试证f?x?在?a,b?上必有最大值．
证明：f1?x?在?a,b?上连续，故有界，从而存在 M0?0，使f1?x??M0，
x??a,b?，从而f?x??M0，x??a,b?．
令
M?supf?x?，则M?M0a?x?b为有限数，对任给的k?N有
xk??a,b?，f?xk??M?xn极限为x0,即limk??1k.又?xk?是有界数列,则有收敛子列?xn?,设其
kk?x0??a,b?,于是
fn?x0??limfn(xnk)?lim(M?k??k??1)?M. nkfn?x0??M,从而f?x0??M. 再令n??,f?x0??limn??这里证明的关键是用有界数列的致密性定理.
推论1 （有界性定理） 若函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有界。
定理9 （介值性定理） 设函数
f在闭区间[a,b]上连续，且
f(a)?f(b)。若?为介于f(a)与f(b)之间的任何实数（f(a)???f(b)或f(a)???f(b)），则至少存在一点x0?(a,b)使得f(x0)??。
（此定理的证明用如下的“根的存在定理”来说明）
这个定理表明，若f在[a,b]上连续，又不妨设f(a)?f(b)，则f在
[a,b]上必能取得区间
[f(a),f(b)]中的一切值，即有
[f(a),f(b)]?f([a,b])。
推论2（根的存在定理） 若函数f在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与
连续函数的性质
