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第1章 随机事件及其概率
r n mm! P = ------------- 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 (m - n)! (1)排列组合公式 N mm! 加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n C = --------------- 从m个人中挑出 n个人进行组合的可能数。 n!(m _n)! m种方法完成，第二种方法可由 n种方法来完成，则这件事可 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 由m+n种方法来完成。 (2)加法和乘法原理 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事) ：mx n 某件事由两个步骤来完成， 第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可 由mx n种方法来完成。 重复排列和非重复排列(有序) (3) —些常见排列 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不 能断言它岀(4)随机试验和随机事件 现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找岀这样一组事件，它具有如下性质： ① 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ② 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 (5)基本事件、样本空间 和事件 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 co来表示。 对立事件(至少有一个) 0表示。 A, B，C…表示事件，它 一个事件就是由。中的部分点(基本事件 ⑷)组成的集合。通常用大写字母 们是O的子集。 Q为必然事件，？为不可能事件。 不可能事件(?)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件； 而概率为1的事件也不一定是必然事件。 ① 关系： 如果事件A的组成部分也是事件 B的组成部分，(A发生必有事件B发生)：AU B 如果同时有AU B，B二A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B： A=B 同理，必然事件(Q)的概率为1, A B中至少有一个发生的事件： AU B,或者A+Bo A与B的差，记为A-B,也可表示为 A-AB或者AB，它 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为 表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A^B,或者AB (6)事件的关系与运算 容或者互斥。基本事件是互不相容的。 B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件 A与事件B互不相 O -A称为事件A的逆事件，或称 A的对立事件，记为 A °它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ② 运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C 分配率：(AB) U C=(AU C)n (B U C) (A U B) Q C=(AC) U (BC) □0 QO ___ Ai =丿 A 德摩根率：in i= AUB = A^B , A^B=AUB 设。为样本空间， A为事件，对每一个事件 A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0 < P(A) < 1 , 2° P( Q ) =1 3°对于两两互不相容的事件 A1, A，…有 (7)概率的公理化定义 / CO 、1 n oQ 1° 0 =心仆化…叭}， 2P U Ai =送 P(Ai) P(国\)=P(⑷ 2)=…P(国 n)=— ° 1(8)古典概型 设任一事件A，它是由CO ，灼2m组成的，则有 P(A)={(⑷1)U@2)U…U &m)} = P(?1)+ P? 2)+…+ P? m) _ m A所包含的基本事件数 n 一 基本事件总数 同时样本空间中的每一个基本事件可以 A 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果岀现的可能性均匀， 使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 (9)几何概型 P(A) (10)加法公式 — L(A)。其中L为几何度量(长度、面积、体积)° L(O) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB) = 0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 BU A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) (11)减法公式 当 A=Q 时，P( B )=1- P(B) 定义 设A B是两个事件，且P(A)>0，则称P(AB)为事件A发生条件下，事件 B发生的条件概率，记为 P(A) (12)条件概率 P(B/A) = P(AB) ° P(A) 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P( Q /B)=1 斗 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式：P(AB) =P(A)P(B/A) (13)乘法公式 更一般地，对事件 A，A，…An,若P(AA…A-1)>0，则有 P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1A2)……P(An | A1A2 …An —1) ① 两个事件的独立性 设事件A、B满足P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且P(ABP(AP(BP(A) > 0，则有 P(B|A) = )=))=P(B) P(A) P(A) (14)独立性 若事件A、B相互独立，则可得到 A与B、A与B、A与B也都相互独立。 必然事件。和不可能事件？与任何事件都相互独立。 ?与任何事件都互斥。 ② 多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)
概率论与数理统计公式整理(超全免费版)
