学而思36奥数精讲（中）
第19讲 方程与方程组2
内容概述
一般的，把含有未知数的等式称为方程
将含有未知数的个数称为“元”，如：x+y=2就是一个二元方程，而两个含有2个未知数的方程合
1
x?y?2在一起，就组成了二元方程组，3x?4y?6.5就是一个二元一次方程组． 把未知数的最高次数称为“次”，如x2?y2?25就是一个二元二次方程．
如果方程组的个数等于未知数的个数，我们就称这个方程为适定方程；
如果方程组的个数少于未知数的个数，我们就称这个方程为不定方程；一般的不定方程没有确定解．
方程的基本性质：
1．方程两边同时加上或减去某个数，等号仍然成立； 2．方程两边同时乘以或除以某个非零数，等号仍然成立． 在解方程中最常用的一种技巧是移项，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫移项．如3x+12=18，可以将12移项为3x=18-12．
通过“代人”消去一个未知数，将方程组减少一元来解的方法叫做代入消元 法，简称代人法；
通过将两个方程相加(或相减)消去一个未知数，将方程组减少一元来解的方 法叫做加减消元法，简称加减法
?典型问题
1．若石是自然数，且满足
1
105?x?6，试求x的值． 4x?1 《九章算术》第八卷“方程”刘徽注:程,课程也.群物总杂,各列有数,总言其实,令每行为率,二物者再程,三物者三程,皆如物数程之.并列为行,故谓方程.
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【分析与解】4x-1必须是105的约数，105=3×5×7，当4x-1=7时，x=2：当4x-1=15时，x=4；当4x-1=3时，x=1；当4x-1=35时，x=9． 所以只能是105÷(4×9-1)=9-6，即x=9．
ax?2y?2?1? 2．小吴和小林两人解方程组， 7x?by?1?2? 由手小吴看错了方程①中的a而得到方程组的解为
??x?4y?9,小林看错了方程②中的b而得到的解为
?x?3
y?8,如果按正确的a、b计算，试求出原方程组的
解．
【分析与解】 因为小吴同学没有看错②，所以
?x?4y?9是符合②的解，有4×7-b×9=1，解得b=3；
因为小林同学没有看错①，所以
??x?3
y?8是符合①的解，有a×3-2×8=2，解得a=6；
6x?2y?2 即原方程组为7x?3y?1解得
3．解方程组：
?x?1y?2
?x1?x2?x3?x2?x3?x4??x2003?x2004?x2005?x2004?1x1?x2?x3?x4???x2002+x2003?x2004?x2005?2005
【分析与解】这是一个高达2005元的一次方程组，必须从中发现规律才求出来未知数的值．
由 x1?x2?x3?x2所以x3?x1; x3?x2?x3?x4所以 x2?x4
x3?x4?x5?x4,所以x3?x5;x5?x4=x5?x6,所以x4=x6
x2003?x2004?x2005?x2004 所以x=x2005
2003于是有x3?x1=x5=
??x2005, x2?x4?x6=
?= x2004令x1?A
x2?B , 那么有 1003A?1002B?2005 所以
?A?B?1?A?1003B?1002
即
?
x1?x3?x5=x7?x2005?1003x2=x4?x6=x8???x2004?1002
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4．一只小虫从A爬到B处．如果它的速度每分钟增加1米，可提前15分钟到达．如果它的速度每分钟再增加2米，则又可提前15分钟到达．那么A处到B处之间的路程是多少米?
【分析与解】设小虫的速度为名x米／分钟，从A到B所需时间为Y分钟，那么有：
?(1?x)(y?15)?xy(3?x)(y?30)?xy,化简为
?y?15x?15y?10x?30,解得x?3,y?60所以A、B地相距3×60=180米．
5．若干学生搬一堆砖，若每人搬五块，则剩下20块未搬走；若每人搬9则最后一名学生只搬6块，那么学生共有多少人?
【分析与解】设有n个学生．根据砖的数量可得到方程
nk?20?9n?(9?6)即n(9?6)=23因为23是质数，所以n与(9-K中一个是23，另一个是1．所以
只能是n=23
评注：在这道题中，K仅是一个过渡变量，借用9-K≤9，求得n=23．
第20讲 列方程解应用题
内容概述
列方程解决问题是一种很重要的通法，以前我们往往将应用题分成：鸡兔同笼、年龄问题、还原问题等等，再归纳出每一类问题的解法．而现在我们就可以利用方程统一来考虑这些问题．方程思想的建立可以说是一个很大的飞跃．
下面我们就如何找好等量关系，如何建立方程给出一些示范，希望大家体会掌握以提高自己的解题能力．
典型问题
1．有一篮子鸡蛋分给若干人，第一人拿走1个鸡蛋和余下的人拿走3个和余下的几个人?
【分析与解】 设原有x个鸡蛋，那么第一人拿了1?11，第二人拿走2个和余下的，第三991，??，最后恰好分完，并且每人分到的鸡蛋数相同，问：共有多少鸡蛋?分给91(x?1)个鸡蛋，第二人拿了91?811?8??2???(x?1)?2?个鸡蛋．1?(x?1)?2???(x?1)?2?
9?999?9?? 解得x?64，则第一人拿了1?1?(64?1)?8个鸡蛋，所以共有64÷8＝8人. 9即共有64个鸡蛋，分给8个人．
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2.某人每日下午5时下班后有一辆汽车按时接他回家．有一天，他提前l小时下班，因汽车未到，遂步行返家，在途中遇到来接他的汽车，因而比平日早16分钟到家，问此人是步行几分钟后遇见汽车的?
【分析与解】设此人在步行x分钟以后遇见汽车，汽车的速度为“１”，汽车从家到单位需要y分钟．
由家到单位的总路程为y，如果汽车在4时就在单位接他，他应该提前1小时到家，但是现在只提前16分钟到家，说明相对汽车他在x分钟这段路程上耽搁44分钟，所以汽车走这段路程只需要x－44分钟．
而汽车是从5：00-y从家出发，在4：00+x达到相遇点．所以行驶x?y-60分钟． x?44?(x?y?60)?y，有2x?104?0,x?52．
所以，此人是在步行52分钟后遇见汽车的．
3．一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题．在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1．又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A．请问有多少学生只答对B? 【分析与解】设不只答对A的为x人，仅答对B的为y人，没有答对A但答对B与C的为z人．
25?x??y? 解得：?3，
??z?23?3xy?z,x?6,
x=7时，y、z都是正整数，所以x?7,y?6,z?2。
故只答对B的有6人．
4．河水是流动的，在Q点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从P到Q，然后穿过湖到R，共
用3小时．若他由R到Q再到P，共需６小时．如果湖水也是流动的，速度等于河水的速度，那么从P
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到Q再到R需
5小时．问在这样的条件下，从R到Q再到P需几小时? 2 【分析与解】设游泳者的速度为1，水速为y，PQ=a，QR=b，则有：
，
且有1+y、 1—y、y均不为0．
①-②得
by11?y?，即b? ??????????????????????????④ 1?y22ya?2y3(1?y2)?3，即a?③-①得 ????????????????????????
1?y22y⑤
由②、④、⑤得
51?y?(1?y)?a?b??(4?3y)，即5y?4?3y. 22y15115.由②得a?b??(1?)?. 2224于是，y?a?b15115??(1?)?小时. 1?y42215小时． 2即题中所述情况下从R到Q再到P需
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