学而思36奥数精讲（中）
4．五支足球队进行单循环赛，每两队之间进行一场比赛．胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．最后发现各队得分都不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平，那么这五支球队的得分从高到低依次是多少?
【分析与解】 每个队各赛4场，共赛5×4÷2：10场．第三名得7分，与第一名打平，那么剩下的3场，得6分，只能是3+3+0，即第二名的比赛输了，所以只能是1+0+／+3+3．
那么，第一名为／+3+1+3+3，第二名为0+／+3+3+3，第三名为1+0+／+3+第四名为0+0+0+／+3，第五名为0+0+0+0+／．
所以，这五支球队的得分从高到低依次是10、9、7、3、0．
6. 有五支足球队进行循环赛，每两个队之间进行一场比赛，胜者得3分，平者各得1分，负者得0分．现在还有一些比赛没有进行，各个队目前的得分恰好是五个连续的偶数，其中甲队积2分，并且负于乙队，那么乙队现在积多少分?
2 【分析与解】 最高分为3×4=12，而赛完后5支队伍的最高分为C5×3=30分，因为出现2分，所
以5个连续的偶数，可能是0、2、4、6、8；2、4、6、8、10．
但是，2+4+6+8+10=30分，而还有些比赛没有进行，所以只能是0、2、4、6、8． 甲：1+0+1+1+～，乙：3+1+～，丙：1+～，丁：1+～，戊：～ 所以，只能是戊为0分．
①当乙为8分时，只能是3+／+1+1+3，因为丙、丁在我们看来完全等价，当丁为6分时1+1+～+1+3，此时丙只能是4分，只能是1+1+～+1+1，而这时戊一定有得分．所以不满足．
②当乙为6分时，只能是3+／+0+0+3，当丙为8分时1+3+／+1+3，此时丁只能是4分，但是只能是1+3+1+／+～，超过4分．所以不满足．
③当乙为4分时，只能是3+／+l+0+～，当丁为8分时l+3+1+／+3，此时丙只能为6分，为1+1+／+l+3．满足．
所以，乙的得分为4．
8．五支足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．已知：(1)4队获得了冠军；(2)B队、C队和D队的得分相同，且无其它并列情况；(3)在C队参加的比赛中，平局只有一场，那场的对手是B队；(4)D队战胜了A队．请你根据上述信息，分析出每场比赛的胜、平、负情况．
【分析与解】 根据已知条件可以画出如下赛况图：
2 因为每场比赛2个队共得2分，所以5个队的总分为C5×2=20分．
(1)当B、C、D均得2分，而A最多得到6分，E最少得到20-2×3-6=8分，超过A，而A是冠军，所以不满足；
(2)当B、C、D均得3分，此时E的得分最少为20-3×3-6=5分，所以此时只能是A得6分，B、C、D均得3分，E得5分．于是，A的另外三场均是A胜
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E于是只能一场平，另外的2场为胜．由条件3知，E不可能与C平，所以只能是与B或D打平． ①当E与D平，有
，有如左下图的赛况表．
②当E与B平，有，有如右上图的赛况表．
(3)当B、C、D均得4分，因为C只能平一场得到1分，而其他情况，要么得到2分，要么不得分，所以不可能；
(4)当B、C、D均得5分，那么只能是A得5分，E得0分，不满足． 综上所述，有2种赛况表满足，
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第18讲 方程与方程组1
内容概述
二元、三元一次方程组的代入与加减消元法．各种可通过列方程与方程组解的应用题，求解时要恰当地选取未知数，以便于将已知条件转化为方程．
典型问题
1．一个分数，分子与分母的和是122，如果分子、分母郡减去19，得到的分数 约简后是
1．那么原来的分数是多少? 5a，则分子、分母都减去19为
122?a【分析与解】 方法一：设这个分数为
a?19a?191==,即5a-95=103-a,解得a?33,则122-33=89．所以原来的分数
(122?a)?19103?a5是
33 89aa?19，那么原来这个分数为，并且有5a5a?193319，解得。=14．所以原来的分数是． =122,
89 方法二：设这个分数为变化后为
(a?19?)a(?5
2．有两堆棋子，A堆有黑子350和白子500个，B堆有黑子400个和白子100个．为了使A堆中黑子占50％，B堆中黑子占75％，那么要从B堆中拿到A堆黑子多少个?白子多少个?
【分析与解】 要使A堆中黑、白子一样多，从B堆中拿到A堆的黑子应比白子多150个，设从B堆中
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拿白子
x个，则拿黑子(x+150)个．
400?(x?15).=75％, 解得x=25. 所以要拿黑子25+150=175个．白子25个
400?100?(2x?150) 依题意有
．
3．A种酒精中纯酒精的含量为40％，B种酒精中纯酒精的含量为36％，C种酒精中纯酒精的含量为35％．它们混合在一起得到了纯酒精的含量为38．5％,的酒精11升，其中B种酒精比C种酒精多3升．那么其中的A种酒精有多少升?
【分析与解】 设c种酒精x升，则B种酒精戈x+3升，A种酒精ll-x-(x+3) 升.有：[11-x-(x+3)] +4％+( x +3)×36％+ x×35％=11×38．5％解得x =0.5． 其中A种酒精为11-2x-3=7(升)．
4.校早晨6：00开校门，晚上6：40关校门。下午有位同学问老师现在的时间，老师说：从开校门到现在时间的
11加上现在到关校门时间的，就是现在的时间．那么现在的时间是下午几点? 34
【分析与解】 设现在为下午x点．那么上午6：00距下午x点为6+x小时；下午x点距下午6：40为6
2?x小时． 3有：?(6?x)?
131?2?6?x???x，解得x=4． 所以现在的时间为下午4点． 4?3?5．如图18—2中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除余1，再把第二次所得
的商被8除后余7，最后得到的一个商是a．图18-3中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的一个商是a的2倍．求这个自然数．
【分析与解】 由题意知???8a?7??8?1???8?1??17?2a??17?4,整理得512a+457=578a+259，即66a=198，a=3．
于是，[(80+1)×8+1]× 8+1=1993．
6．一堆彩色球，有红、黄两种颜色．首先数出的50个球中有49个红球；以后每数出的8个球中都有7个红球．一直数到最后8个球，正好数完．如果在已经数出的球中红球不少于90％，那么这堆球的数目最多只能有多少个?
【分析与解】 方法一 ：首先数出的50个球中，红球占49÷50×100％=98％．以后每次数出的球中，红球占7÷8×100％=87．5％． 取得次数越多，红球在所取的所有球中的百分数将越低．设取得x次
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后，红球恰占90％．共取球50+8z，红球为49+7x．
(49+7x)÷(50+8x)×100％=90％，解得x=20，所以最多可取20次，此时这堆球的数目最多只能有50+8×20=210个．
方法二：设,除了开始数出的50个球，以后数了n次，那么,共有红球49+7n，共有球50+8n,有
49?7n≥90％，即49+7n≥45+7．2n,解得n≤20，所以n的最大值20.
50?8n 则这堆球的数目最多只能有50+8×20：210个．
7.有甲、乙、丙、丁4人，每3个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，2l和17．这4人中最大年龄与最小年龄的差是多少?
【分析与解】 设这些人中的年龄从大到小依次为x、y、z、w，
①+②+③十④得：2(x+y+z+w)=90，
x?y?z?w=15????????????????⑤
32①-⑤得：x?14 , x=21；
32④-⑤得：z?2， z=3；
3则
所以最大年龄与最小年龄的差为x?w =21—3=18(岁)．
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