学而思36奥数精讲（中） - 图文

由天下分享时间：2025/1/11 7:34:15 加入收藏我要投稿点赞

学而思36奥数精讲（中）

则上午未打印的信的号码是S的一个子集．若将9排在子集之后，则与⑴中的情形相同，故只有子集中至少有一封信已把号码9放在该子集的非最后的位置上．对于有k个元素的子集，号码9有k个位置可放，即可放在第i一1个元素之后和i个元素之前，i=1，2，?，k．于是不同的顺序总数为：

012776

0×C7+1×C7+2×C7+?+7×C7=7×2÷2=7×2=448 即下午有448种可能的打印顺序．

所以，下午共有256+448=704种打印的方法．

第16讲逻辑推理

内容概述

体育比赛形式的逻辑推理问题，其中存在的呼应——“一队的胜、负、平分对应着另一队的负、平、胜”对解题有重要作用，有时宜将比赛情况用点以及连这些点的线来表示．需要从整体考虑，涉及数量比较、整数分解等具有一定综性的逻辑推理问题．

典型问题

1．共有4人进行跳远、百米、铅球、跳高4项比赛，规定每个单项中，第一名记5分，第二名记3分，第三名记2分，第四名记1分．已知在每一单项比赛中都没有并列名次，并且总分第一名共获17分，其中跳高得分低于其他项得分；总分第三名共获11分，其中跳高得分高于其他项得分．问总分第二名在铅球项目中的得分是多少?

【分析与解】每个单项的4人共得分5+3+2+1=11分，所以4个单项的总分为11×4=44分，而第一，三名得分为17、11分，所以第二、四名得分之和为44?(17?11)?16分其中第四名得分最少为4分，此时第二名得分最高，为16-4=12分；又因为第三名为11分，那么第二名最低为12分；那么第二名只能为12分，此时第四名4分．

于是，第一、二、三、四名的得分依次为17、12、1l、4分，而17只能是 5+5+5+2，4只能是1+1+1+1. 不难得到下表：

由表知总分第二名在铅球项目中的得分是3分．

2．4支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少?

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【分析与解】四个队共赛了C4?24?3?6场，6场总分m在12(=6×2)与18(=6×3)之间． 2 由于m是4个连续自然数的和，所以m=2＋3＋4=5＝14或m=3+4+5=18．

如果m=18，那么每场都产生3分，没有平局，但5=3+1+1表明两场踢平，矛盾．

所以m=14，14=3×2+2×4表明6场中只有2场分出胜负．此时第一、二、三、四名得分依次为5、4、3、2．

则第三名与所有人打平，那么第二名没有了平局，只能是第一名与第四名打平，这样第一名还有1局胜，第二名还有1局负，所以第一名胜第二名．即输给第一名的队得4分．

如下图所示，在两队之间连一条线表示两队踢平，画一条A?B,，表示A胜B,各队用它们的得分来表示．

评注：常见的体育比赛模式

N个队进行淘汰赛，至少要打N?1场比赛：每场比赛淘汰一名选手；

N个队进行循环赛，一共要打C2N?N(N?1)场比赛：每个队要打N?1场比赛． 2循环赛中常见的积分方式：

①两分制：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分；核心关系：总积分=2×比赛场次；

②三分制：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得O分；核心关系：总计分=3×比赛场次-1×赛平场次．

3． 6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．现在比赛已进行了4轮，即每队都已与4个队比赛过，各队已赛4场的得分之和互不相同．已知总得分居第三位的队共得7分，并且有4场球踢成平局，那么总得分居第五位的队最多可得多少分?最少可得多少分?

【分析与解】每轮赛3场，最多产生3?3?9分，四轮最多4?9?36分．现在有4场踢成平局，每平一场少1分，所以总分为36?4?1?32．前三名得分的和至少为7?8?9?24.

所以后三名的得分的和至多为32?24?8.

第5名如果得4分，则后三名的得分的和至少为4?5?9,这不可能，所以第5名最多得3分，图(a)为取3分时的一种可能的赛况图．

显然第5名最少得1分，图(b)为取1分时的一种可能的赛况图．

评注：以下由第5名得分情况给出详细赛况：

学而思36奥数精讲（中）

4．某商品的编号是一个三位数．现有5个三位数：874，765，123，364，925，其中每一个数与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字．那么这个三位数是多少?

【分析与解】方法一：每一个与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字．五个数，就要有五次相同，列出这五个数：874，765， 123，364，925百位上五个数各不相同，十位上有两个6和两个2，个位上有两个4和两个5．因此，商品编号的个位数字一定和给定5个数中的两个个位数字相同，商品编号的十位数字一定和给定5个数中的两个十位数字相同，商品编号的百位数字只能跟5个数中的一个百位数字相同．

若商品编号的个位数字是5，我们就把第二个和第五个数拿走，剩下的三个数的十位数字各不相同，无法满足题目的要求(事实上，十位数字只能取7，而十位上只有一个7)．

若商品编号的个位数字是4，拿走第一和第四个数后，十位上仍有两个2，可取十位数字为2，再拿走第三和第五个数，剩第二个数，它的百位是7，所以商品的编号为724．如果一个数与商品编号在某一位有相同数字，那么这个数与商品编号不会再有另外相同数字．因此解的过程中用“拿走”这一说法是恰当的．

方法二：商品编号的个位数字只可能是3、4、5．

如果是3，那么874，765，364，925这4个数中至多有三个数与商品编号有相同数字(百位有一个相同，十位有两个相同)，还有一个数与商品编号无相同数字，矛盾．

如果是5，那么765，925的个位数字是5，从而商品号码的十位数字不是6、2，因此必须是7．这时123、364中至少有一个与商品号码无相同数字，矛盾．

所以，该商品号码的个位数字只能是4，而且这个号码应为724．即这个三位数为724．

5．某楼住着4个女孩和2个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩大4岁．求最大的男孩的岁数．【分析与解】本题中最大的孩子，可能是男孩，可能是女孩．

当最大的孩子为女孩时，即最大的女孩为10岁，那么最小的男孩为10－4＝6岁，则4岁定是最小的女孩，那么最大的男孩是4+4：8岁，满足题意；当最大的孩子为男孩时，即最大的男孩为10岁，那么最小的女孩为10—4=6岁.则4岁一定时最小的男孩，那么最大的女孩为4+4=8岁，也就是说4个年龄不同的女孩的年龄在6—8之间，显然得不到满足．

于是，最大的男孩为8岁．．

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6．某次考试满分是100分，A，B，C，D，E这5个人参加了这次考试． A说：“我得了94分．”

B说：“我在5个人中得分最高．”

C说：“我的得分是A和D的平均分，且为整数．” D说：“我的得分恰好是5个人的平均分．”

E说：“我比C多得了2分，并且在5个人中居第二．” 问这5个人各得了多少分?

【分析与解】 B、E分别为第一、二名，C介于A、D之间，则当A为第三时，C为第四，D为第五，得5人平均分的人为最后一名，显然不满足．

于是D、C、A只能依次为第三、四、五名，有B、E、D、C、A依次为第一、二、三、四、五名，A为94分，C为D、A得平均分，且为整数，所以D的得分为偶数，只可能为98或96(如果为100，则B、E无法取值)，D、C、A得分依次为98、96、94或96、95、94，有E比C高2分，则E、D、C、A得分依次为98、98、96、94或97、96、95、94.对应5个人的平均分为98或96，而B的得分对应为104或98，显然B得不到104分．

所以B、E、D、C、A的得分只能依次是98、97、96、95、94．

7．在一次射击练习中，甲、乙、丙3位战士各打了4发子弹，全部中靶．其命中情况如下： ①每人4发子弹所命中的环数各不相同； ②每人4发子弹所命中的总环数均为17环；

③乙有2发命中的环数分别与甲其中的2发一样，乙另2发命中的环数与丙其中的2发一样： ④甲与丙只有1发环数相同；

⑤每人每发子弹的最好成绩不超过7环．问：甲与丙命中的相同环数是几?

【分析与解】条件较多，一次直接求出满足所有条件的情况有些困难，争把条件分类，再逐个满足之．

第一步：使用枚举法找出符合每发最多不超过7环、四发子弹命中的环型不相同，和为17环的所有情况；

第二步：在这些情况中去掉不符合条件③、④的，剩下的就是符合全部条利的情况，即为答案．满足条件①、②、⑤的只有如下四种情况：

A.7?6?3?1?17(杯)? ?都有1和7；乙B.7?5?4?1?17(杯)?甲丙

C.7?5?3?2?17(杯)??都有4和5

D.6?5?4?2?17(杯)? 从上述四个式子中看出式A与式B有数字1、7相同；式B与式D有数字4和5相同．式B既与式A有两个数字相同，又与式D有两个数字相同，式B就是乙．式A与式D对应为甲和丙．

式A与式D相同的数字是6，所以甲和丙相同的环数是6．

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