学而思36奥数精讲(中)
第13讲 植树问题
内容概述
几何图形的设计与构造,本讲讲解一些有关的植树问题.
典型问题
1.今有10盆花要在平地上摆成5行,每行都通过4盆花.请你给出一种设计方案,画图时用点表示花,用直线表示行. 【分析与解】 如下图所示:
2.今有9盆花要在平地上摆成10行,每行都通过3盆花.请你给出一种设计方案,画图时用点表示花,用直线表示行. 【分析与解】 如下图所示:
3.今有10盆花要在平地上摆成10行,每行都通过3盆花.请你给出一种设计方案,画图时用点表示花,用直线表示行· 【分析与解】 如下图所示:
4.今有20盆花要在平地上摆成18行,每行都通过4盆花.请你给出一种设计方案,画图时用点表示花,用直线表示行. 【分析与解】 如下图所示:
5.今有20盆花要在平地上摆成20行,每行都通过4盆花.请你给出一种设计方案,画图时用点表示花,用直线表示行.
【分析与解】 如下图所示:
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第14讲 数字谜综合
内容概述
各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题.
典型问题
1.ABCD表示一个四位数,EFG表示一个三位数,A,B,C,D,E,F,G代表1至9中的不同的数字.已知ABCD+EFG=1993,问:乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少?
【分析与解】 因为两个数的和一定时,两个数越紧接,乘积越大;两个数的差越大,乘积越小. A显然只能为1,则BCD+EFG=993,
当ABCD与EFG的积最大时,ABCD、EFG最接近,则BCD尽可能小,EFG尽可能大,有BCD最小为234,对应EFG为759,所以有1234×759是满足条件的最大乘积;
当ABCD与EFG的积最小时,ABCD、EFG差最大,则BCD尽可能大,EFG尽可能小,有EFG最小为234,对应BCD为759,所以有1759×234是满足条件的最小乘积; 它们的差为1234×759—1759×234=(1000+234)×759一(1000+759)×234=1000×(759—234)=525000.
2.有9个分数的和为1,它们的分子都是1.其中的5个是位数字都是5.请写出这4个分数.
【分析与解】 l一(
11111,,,,另外4个数的分母个3791133111112?10110?10++++)== 37911333?3?7?113?3?5?7?11 需要将1010拆成4个数的和,这4个数都不是5的倍数,而且都是3×3×7×1l的约数.因此,它们可能是3,7,9,11,21,33,77,63,99,231,693. 经试验得693+231+77+9=1010.
所以,其余的4个分数是: 3.
1111,,,. 51545385 请在上面算式的每个方格内填入一个数字,使其成为正确的等式. 【分析与解】 1988=2×2×7×7l=4×497,
1111+=,在等式两边同时乘上,就得1243497111+=.显然满足题意. 5964198814911111111 又+=,两边同乘以,就得+=.显然也满足.
142497019881420351410111111 +=,+=均满足. 305319881204809419881596
4.小明按照下列算式: 乙组的数口甲组的数○1=
对甲、乙两组数逐个进行计算,其中方框是乘号或除号,圆圈是加号或减号他将计算结果填入表14—1的表中.有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正.问改正后的两个数的和是多少?
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917都是小于1的数,2与这三个数运算后,得5.05,143251517174,4;不论减1还是加l后,这三个数都比2大,而这是2与小于1的数运算的结果,因
16643232 【分析与解】 甲组的前三个数0.625,,此可以猜想方框内是除号.
现在验算一下:
231781881÷0.625=×==4.05; 3232520172813152÷=×=3; 32332264179811463152÷=×==3;
9161632143217272÷3=.
32322
从上面四个算式来看,圆圈内填加号,这样有三个结果是对的,而4 按照算式
乙+1??????????* 2÷3+1=1
5是错的. 16÷
甲
组
的
数
组的数
2,显然不为1.5,上面已认定3是正确的,因此,只有把2改为1.5,才有3121.5÷3+1=1,而1.5÷0.625+l=3.4,1.5÷+1=3.25.
23 由此可见,确定的算式*是正确的.
515应改为4,2应改为1.5, 161615115?874+1=5+=6. 16216167改正后的两个数的和是6.
16表中有两个错误,4
5.图14—3中有大、中、小3个正方形,组成了8个三角形.现在先把1,2,3,4分别填在大正方形的4个顶点上,再把1,2,3,4分别填在中正方形的4个顶点上,最后把1,2,3,4分别填在小正方形的4个项点上.
(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能,请给出填数方法:如果不能,请说明理由.
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(2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能,请给出填数方法;如果不能,请说明理由.
【分析与解】 (1)无论怎样填法,都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等. 事实上,假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等,不妨设每个三角形顶点上数字之和为k.
在计算八个三角形顶点上数字之和时,大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次;中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次;小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次. 因此,这八个三角形顶点上数字之和的总和为:
8k=(1+2+3+4)+3×(1+2+3+4)+2×(1+2+3+4),即8k=60,k不为整数,矛盾,所以假设是错误的. (2)易知:不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同,所以三角形顶点上数字之和最小为1 +1+2=4,最大为3+4+4=11.
而4~11共8个数,于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同,可如下构造,且填法不惟一.图(a)和图(b)是两种填法.
6.图14—5中有11条直线.请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里,使每一条直线上所有数的和相等.求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数.
【分析与解】 表述1:设每行的和为S,在左下图中,除了a出现2次,其他数字均只出现了1次,并且每个数字都出现了,于是有4S=(1+2+3+?+11)+a=66+a;
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在右上图中除了a出现5次,其他数字均只出现了1次,并且每个数字都出现了,于是有5S=(1+2+3+?11)+4a=66+4a. 综合以上两式??4S?66?a(1),
?5S?66?4a(2) ①×5-②×4得66-11a=0,所以a=6,则S=18. 考虑到含有*的五条线,有4*+(1+2+3+4+?+11)-t=5S=90.即4*-t=24,由t是1~11间的数且t≠*,可知*=7,而每行相等的和S为18.
表述2:如下图所示,在每个圆圈内标上字母,带有*的圆圈标为x,
首先考虑以下四条直线:(h、f、a),(i、g、a),(x、d、b),(j、e、c),除了标有a的圆圈外,其余每个圆圈都出现了一次,而标有a的圆圈出现了两次,设每条直线上数字之和为S,则有: (1+11)×11÷2+a=4S,即66+a=4S.
再考虑以下五条直线:(h、f、a),(i、g、a),(j、x、a),(e、d、a),(c、b、a),同理我们可得到66+4a=5S.
?66?a?4S 综合两个等式?,可得a为6,每条直线上和S为18.
66?4a?5S? 最后考虑含x的五条直线:(x、h),(x、g、f),(j、x、a),(x、d、b),(i、x、c).其中除了x
出现了5次,e没有出现,其他数字均只出现了一次,于是可以得到:
66+4x-e=5S=90,即4x-e=24,由e是1—11间的数且e≠x可知x=7.
即每行相等的和S为18,*所填的数为7.
7.一个六位数,把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数,再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数,如此共进行5次所得的新数连同原来的六位数共6个数称为一组循环数.已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的l倍,2倍,3倍,4倍,5倍,6倍,求这个六位数.