（2）由（1）可知，当a?0时，函数f?x?在?0,x2?上单调递增，在?x2,???上单调递减，
∴f?x??f?x2max2?，即需f?x2?≤0，即lnx2?ax2?x2≤0，···········8分
又由f??x21?x22??0得ax2?2，代入上面的不等式得2lnx2?x2≤1，···········9分 由函数h?x??2lnx?x在?0,???上单调递增，h?1??1，所以0?x2≤1，·······10分
∴1x≥1，∴a?1?x21?11?2x2??x2??≥1， 222?2x2?所以a的取值范围是a??1,???．···········12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22．【选修4－4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极
坐标系，已知曲线C221：x?y?1，直线l：??cos??sin???4．
（1）将曲线C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、3倍后得到曲线C2，请写出直线l，和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若直线l1经过点P?1,2?且l1∥l，l1与曲线C2交于点M,N，求PM?PN的值．
【答案】（1）x?y?4，x?24?y?23?1；（2）2．
【解析】（1）因为l：??cos??sin???4，所以l的直角坐标方程为x?y?4；·········2分
??x?x?设曲线C?，则???x??2x?22上任一点坐标为?x?,y?y??3y ，所以????y?， ??y?3代入C?x??2?y??2x?2y?21方程得：??2?????3???1，所以C2的方程为4?3?1．···········5分 （2）直线l：x?y?4倾斜角为
?4，由题意可知， ??2直线l?x?1?1的参数方程为?2t （t为参数），·
··········7分
?2??y?2?2t联立直线l71和曲线C2的方程得，2t2?112t?7?0．设方程的两根为t1,t2，则t1t2?2，由直线参数t的几何意义可知，
PM?PN?t1t2?2．···········10分
23．【选修4-5：不等式选讲】
已知函数f?x??2x?1?x?1． （1）解不等式f?x?≤3；
（2）记函数g?x??f?x??x?1的值域为M，若t?M，证明：t2?1≥3t?3t． 【答案】(1){x|?1≤x≤1}；（2）见解析．
?????3xx≤?1【解析】(1)依题意，得f?x???2?x1?x?1 ，···········2分 ?2??1?3xx≥21于是得f?x?≤3???x≤?1???1?x???x≥1·········??3x≤3 或??2 或?2 ，·
4分 ?2?x≤3??3x≤3解得?1≤x≤1，即不等式f?x?≤3的解集为{x|?1≤x≤1}．···········5分 （2）g?x??f?x??x?1?2x?1?2x?2≥2x?1?2x?2?3， 当且仅当?2x?1??2x?2?≤0时，取等号，∴M??3,???，···········7分
32由t2?3t?1?3?t?3t?t?3?t?3??t2?1?tt?t，···········8分 ∵t?M，∴t?3≥0，t2?1?0，∴
?t?3??t2?1?≥0，∴t2?1≥3tt?3t．···········10分
2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(1)(文科数学含答案详解)
