第3讲 圆锥曲线中的热点问题
【高考考情解读】 纵观近几年高考，解析几何是重要内容之一，所占分值在30分以上，大题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题.1.填空题主要考查圆锥曲线的几何性质，三种圆锥曲线都有可能涉及.2.在解答题中主要考查圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定点、定值及最值、范围问题．
1． 直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：
将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离． (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：
将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．
②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点． (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：
将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．
②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点． 2． 有关弦长问题
有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2＝1＋k2|x2－x1|或P1P2＝即作如下变形：
1
1＋2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，k
word.
|x2－x1|＝?x1＋x2?2－4x1x2， |y2－y1|＝?y1＋y2?2－4y1y2.
(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 3． 弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．
考点一 圆锥曲线的弦长及中点问题
x2y26
例1 已知椭圆G：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点(22，0)，斜率为1的直线l
ab3
与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)． (1)求椭圆G的方程； (2)求△PAB的面积．
c6
解 (1)由已知得c＝22，＝. a3解得a＝23，又b2＝a2－c2＝4. x2y2
所以椭圆G的方程为＋＝1.
124(2)设直线l的方程为y＝x＋m.
??y＝x＋m，由?x2y2得4x2＋6mx＋3m2－12＝0. ??12＋4＝1.
①
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1 244因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB. m 2－ 4 所以PE的斜率k＝＝－1. 3m－3＋4解得m＝2. 此时方程①为4x2＋12x＝0. 解得x1＝－3，x2＝0. word. 所以y1＝－1，y2＝2. 所以AB＝32. |－3－2＋2|32 此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝， 2219 所以△PAB的面积S＝AB·d＝. 22 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方 程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 11?x22 椭圆＋y＝1的弦被点?则这条弦所在的直线方程是________． ?2，2?平分，2 答案 2x＋4y－3＝0 解析 设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1. x2x21222＝1. ∵A，B在椭圆上，∴＋y1＝1，＋y2 22?x1＋x2??x1－x2? ＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 2即y1－y2 x1＋x21＝－＝－， 2x1－x22?y1＋y2? 1 即直线AB的斜率为－. 2 111 x－?， ∴直线AB的方程为y－＝－?22?2?即2x＋4y－3＝0. 考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题 x2y21 例2 已知椭圆C：2＋2＝1经过点(0，3)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F ab2 交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x＝4上的射影依次为D、K、E. (1)求椭圆C的方程； →→→→ (2)若直线l交y轴于点M，且MA＝λAF，MB＝μBF，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由； (3)连结AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若 word. 是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由． (1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后 →→→→ 可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA＝λAF，MB＝μBF把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE，BD的交点坐标，如果直线AE，BD相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，这样只要证明直线AE，BD都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点． c1 解 (1)依题意得b＝3，e＝＝，a2＝b2＋c2， a2x2y2 ∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为＋＝1. 43 (2)因直线l与y轴相交，故斜率存在，设直线l方程为 y＝k(x－1)，求得l与y轴交于M(0，－k)， 又F坐标为(1,0)，设l交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)， ??y＝k?x－1?，由?x2y2 ??4＋3＝1， 消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 4k2－128k2∴x1＋x2＝，x1x2＝， 3＋4k23＋4k2 →→ 又由MA＝λAF，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)， x1x2 ∴λ＝，同理μ＝， 1－x11－x2 x1＋x2－2x1x2x1x2 ∴λ＋μ＝＋＝ 1－x11－x21－?x1＋x2?＋x1x2 2?4k2－12?8k2 －3＋4k23＋4k2 ＝ 8 ＝－. 2－12324k8k 1－＋3＋4k23＋4k2 word. 8 所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－. 3 (3)当直线l斜率不存在时，直线l⊥x轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相5? 交于FK的中点N??2，0?， 猜想，当直线l的倾斜角变化时， 5?AE与BD相交于定点N??2，0?， 证明：由(2)知A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴D(4，y1)，E(4，y2)，当直线l的倾斜角变化时，首先证直线 5?AE过定点??2，0?， y2－y1∵lAE：y－y2＝(x－4)， 4－x1y2－y1?3?5 当x＝时，y＝y2＋·－ 24－x1?2?＝ 2?4－x1?·y2－3?y2－y1? 2?4－x1?2?4－x1?·k?x2－1?－3k?x2－x1? 2?4－x1? ＝ －8k－2kx1x2＋5k?x1＋x2?＝ 2?4－x1? －8k?3＋4k2?－2k?4k2－12?＋5k·8k2＝＝0. 2?4－x1?·?3＋4k2?5? ∴点N??2，0?在直线lAE上． 5?同理可证，点N??2，0?也在直线lBD上． 5?∴当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点??2，0?. (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要 解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． word.
步步高2014届高考数学江苏专用(文)二轮专题突破：专题五 第3讲 圆锥曲线中的热点问题#(精选.)
