课时跟踪检测（七） 直线与椭圆的位置关系
层级一 学业水平达标
x2y2
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
94A．相切 C．相离
B．相交 D．不确定
解析：选B 直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，故直线恒过定点(1,1)，而该x2y2x2y2
点在椭圆＋＝1内部，所以直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1相交，故选B．
9494
2．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为A．
m2
，则n的值是( ) 2
B．
23 323
27
2 2
92C．
2
D．
22??mx＋ny＝1，
解析：选A 由?消去y得，
?y＝1－x?
(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为(x0，y0)， 2nn
则x1＋x2＝，∴x0＝，
m＋nm＋nm
代入y＝1－x得y0＝．
m＋ny0m22
由题意＝，∴n＝，选A．
x022
3．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) C．0，
2 2
1
B．0，
2D．
2，1 2
解析：选C ∵MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，c21c22
∴c a222 2 2 2 2 2 2 x22 4．已知椭圆C：＋y＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C 2 于点B，若FA＝3FB，则|AF |＝( ) A．2 C．3 B．2 D．3 解析：选A 设点A(2，n)，B(x0，y0)． x22 由椭圆C：＋y＝1知a2＝2，b2＝1， 2∴c2＝1，即c＝1．∴右焦点F(1,0)． 由FA＝3FB得(1，n)＝3(x0－1，y0)． ∴1＝3(x0－1)且n＝3y0． 41∴x0＝，y0＝n． 33x22 将x0，y0代入＋y＝1， 21?4?2?1?2得×＋n＝1． 2?3??3?解得n2＝1， ∴|AF|＝?2－1?2＋n2＝1＋1＝2． x2y2 5．(全国卷Ⅰ)已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于 abA，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( ) x2y2 A．＋＝1 4536x2y2 C．＋＝1 2718 x2y2 B．＋＝1 3627x2y2 D．＋＝1 189 解析：选D 因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)， 1 所以直线AB的方程为y＝(x－3)， 2x2y2 代入椭圆方程2＋2＝1消去y， aba39＋b2?x2－a2x＋a2－a2b2＝0， 得??4?24 32 a2 所以AB的中点的横坐标为2＝1，即a2＝2b2， a ＋b2?2??4?又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3． 2 x2y2 所以E的方程为＋＝1． 189 1 6．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为______． 2x＋4y＝16，?? 解析：由?1 y＝x＋1，??2消去y并化简得x2＋2x－6＝0． 设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6． ∴弦长|MN|＝1＋k2|x1－x2| ＝ 5 [?x1＋x2?2－4x1x2]＝ 4 5 ?4＋24?＝35． 4 2 2 答案：35 x2y2 AM7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，|AM |＝1，且PM· 2516＝0，则|PM|的最小值是________． 解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点． ∵PM·AM＝0， ∴AM⊥PM． ∴|PM|2＝|AP |2－|AM|2＝|AP|2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|AP|min＝2，∴|PM|min＝3． 答案：3 x2y2 8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点， 43 FP的最大值为________． 则OP· x2y2 解析：由＋＝1可得F(－1,0)． 43 x2121 FP＝x＋x＋y＝x＋x＋31－4＝4x＋x＋3＝4(x＋设P(x，y)，－2≤x≤2，则OP· 2 2 2 2)2＋2， FP取得最大值6． 当且仅当x＝2时，OP· 答案：6 x22 9．已知斜率为1的直线l过椭圆＋y＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB 4的长． 解：∵a2＝4，b2＝1，∴c＝a2－b2＝3， ∴右焦点F(3，0)，∴直线l的方程y＝x－3． ??y＝x－3，由?x22消去y并整理，得5x2－83x＋8＝0． ??4＋y＝1， 设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝ 838 ，x1x2＝， 55 ∴|AB|＝?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2] ＝ 2 ??83?2－4×8?＝8， 5?5??5? 8 即弦AB的长为． 5 x2y23 10．设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为． ab5(1)求C的方程； 4 (2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标． 5解：(1)将(0,4)代入C的方程得16 ＝1， b2a2－b29c3 ∴b＝4．又e＝a＝，得2＝， 5a25169 即1－2＝，∴a＝5， a25x2y2 ∴C的方程为＋＝1． 2516 44 (2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)． 55 x24 设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得 525?x－3?2x1＋x23y1＋y2 ＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＋x2＝3，∴AB的中点坐标 x0＝＝，y0＝ 252223626，－?． ＝(x1＋x2－6)＝－，即中点坐标为?5??255 层级二 应试能力达标 x2 1．若直线mx＋ny＝4和圆O：x＋y＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋9 2 2 y2 ＝1的交点个数为( ) 4 A．2 C．0 解析：选A 由题意，得 B．1 D．0或1 42222 >2，所以m＋n<4，则－2 x2y2x2y2 点P(m，n)在椭圆＋＝1内，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有2个交点．故选 9494A． x2y2 2．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是( ) 164A．－B．? ??55? ， 44??55?，－? 4??4 C．－∞，－D．－∞，－? ??? 5??5?∪，＋∞ 4??4?5??55?∪－， 4??44? y＝kx＋3，??22 解析：选C 由?xy得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)>0，即 ??16＋4＝1k> 55 或k<－时，直线与椭圆有两个公共点．故选C． 44 y3．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为( ) x－2A．1 C．－ 23 3 B．－1 D．以上都不对 y 解析：选C 设＝k，则y＝k(x－2)． x－2 22??4x＋y＝4，由?消去y，整理得 ?y＝k?x－2?? (k2＋4)x2－4k2x2＋4(k2－1)＝0， Δ＝16k4－4×4(k2－1)(k2＋4)＝0， 23解得k＝±， 323 ∴kmin＝－．选C． 3 x2y2 4．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆2＋2＝1的两个焦点，P(不在x轴上)为椭圆上一点， ab
标题-2017-2024学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-1：课时跟踪检测（七） 直线与椭圆的位置关系
