题型专项(三) 反比例函数与一次函数综合
m
y＝(m≠0)在第
x
1．(2016·贵港模拟)如图，在平面直角坐标系中，一次函数一象限内的图象交于点
y＝nx＋2(n≠0)的图象与反比例函数
A，与x轴交于点B，线段OA＝5，C为x轴正半轴上一点，且
4
＝. sin∠AOC5
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求△AOB的面积．
解：(1)过A点作AD⊥x轴于点D，∵sin∠AOC＝ADAO＝45，OA＝5，∴AD＝4.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得DO＝3.
∵点A在第一象限，∴点A的坐标为(3，4)．
将A的坐标(3，4)代入y＝mm
x，得4＝3，∴m＝12.
∴该反比例函数的解析式为
y＝12x
.
将A的坐标(3，4)代入y＝nx＋2，得n＝2
3.
∴一次函数的解析式是
y＝2
3
x＋2.
(2)在y＝22
3x＋2中，令y＝0，即3x＋2＝0，
解得x＝－3.
∴点B的坐标是(－3，0)．∴OB＝3.
又∵AD＝4，∴S11
△AOB＝2OB·AD＝2×3×4＝6.
则△AOB的面积为6.
2．(2016·安徽)如图，一次函数y＝kx＋b的图象分别与反比例函数y＝a
x
的图象在第一象限交于点
轴的负半轴交于点
B，且OA＝OB.21世纪教育网版权所有
(1)求函数y＝kx＋b和y＝a
x
的表达式；
(2)已知点C(0，5)，试在该一次函数图象上确定一点
M，使得MB＝MC.求此时点M的坐标．
A(4，3)，与y
a
解：(1)将A(4，3)代入y＝，
xa
得3＝.
4∴a＝12.
∵A(4，3)，∴OA＝
4＋3＝5.
2
2
由于OA＝OB且B在y轴负半轴上，∴B(0，－5)．将A(4，3)，B(0，－5)代入y＝kx＋b，得
3＝4k＋b，－5＝b，
解得
k＝2，b＝－5.
12
y＝2x－5和y＝.
x
x轴上，又∵点
M在一次函数的图象上，∴
M为一次函数图象与
x
则所求函数表达式分别为
(2)∵MB＝MC，∴点M在线段BC的中垂线上，即轴的交点．
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5令2x－5＝0，解得x＝.
25
∴此时点M坐标为(，0)．
2
3．(2016·新疆)如图，直线y＝2x＋3与y轴交于A点，与反比例函数轴于点C，且C点的坐标为(1，0)．21cnjy.com(1)求反比例函数的解析式；(2)点D(a，1)是反比例函数
k
y＝(x＞0)图象上的点，在
x
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k
y＝(x＞0)的图象交于点
x
B，过点B作BC⊥ｘ
x轴上是否存在点P，使得PB＋PD最小？若存在，求出点
P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵BC⊥ｘ轴于点C，且C点的坐标为(1，0)，∴在直线y＝2x＋3中，当x＝1时，y＝2＋3＝5. ∴点B的坐标为(1，5)．又∵点B(1，5)在反比例函数∴反比例函数的解析式为
y＝的图象上，∴k＝1×5＝5.
x
k
5y＝.
x
5
(2)存在．将点D(a，1)代入y＝，得a＝5.
x
∴点D的坐标为(5，1)．∴点D(5，1)关于x轴的对称点为
3m＝－2，
解得
n＝
132.
D′(5，－1)．
y＝mx＋n，
设过点B(1，5)、点D′(5，－1)的直线解析式为
m＋n＝5，5m＋n＝－1.
可得
∴直线BD′的解析式为根据题意知，直线
313y＝－x＋.
22
P.
BD′与x轴的交点即为所求点
31313
当y＝0时，得－x＋＝0，解得x＝.
22故点P的坐标为(13
3
，0)．
3
广西贵港市2017届中考数学总复习题型专项(三)反比例函数与一次函数综合
