第3讲 变量间的相关关系与统计案例
一、选择题
1.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是( ) A.模型1的相关指数R2为0.98 B.模型2的相关指数R2为0.80 C.模型3的相关指数R2为0.50 D.模型4的相关指数R2为0.25
解析 相关指数R2越大，拟合效果越好，因此模型1拟合效果最好. 答案 A
2.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A.^y＝0.4x＋2.3 C.^y＝－2x＋9.5
B.^y＝2x－2.4 D.^y＝－0.3x＋4.4
解析 因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3，3.5)的坐标代入检验，A满足. 答案 A
3.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为^y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( ) A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(x，y)
C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D.若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 解析 ∵0.85>0，∴y与x正相关，∴A正确； ∵回归直线经过样本点的中心(x，y)，∴B正确； ∵Δy＝0.85(x＋1)－85.71－(0.85x－85.71)＝0.85，
∴C正确. 答案 D
4.通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
爱好 不爱好 总计 男 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110 2n（ad－bc）由K2＝算得，
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）2
110×（40×30－20×20）K2＝≈7.8.
60×50×60×50
附表：
P(K2≥k0) k0 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 参照附表，得到的正确结论是( ) A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 解析 根据独立性检验的定义，由K2≈7.8>6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”. 答案 A
5.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元) 支出y(万元) 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8 ^x＋a^，其中b^＝0.76，a^＝y－b^x，据此估计，
根据上表可得回归直线方程^y＝b该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A.11.4万元
B.11.8万元
C.12.0万元 D.12.2万元
8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9
解析 由题意知，x＝＝10，
56.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8y＝＝8，
5^＝8－0.76×10＝0.4， ∴a
∴当x＝15时，^y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元). 答案 B 二、填空题
6.若8名学生的身高和体重数据如下表：
编号 身高/cm 体重/kg 1 165 48 2 165 57 3 157 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59 第3名学生的体重漏填，但线性回归方程是^y＝0.849x－85.712，则第3名学生的体重估计为________.
解析 设第3名学生的体重为a，则
11(48＋57＋a＋54＋64＋61＋43＋59)＝0.849×88(165＋165＋157＋170＋175＋165＋155＋170)－85.712.解之得a≈50. 答案 50
7.(2017·广州模拟)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表如下：
男 女 总计 理科 13 7 20 文科 10 20 30 总计 23 27 50 已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025. 2
50×（13×20－10×7）
根据表中数据，得到K2＝≈4.844，则认为选修文理
23×27×20×30
科与性别有关系出错的可能性约为________.
解析 由K2＝4.844＞3.841.故认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%. 答案 5%
8.某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃) 用电量(度) 18 24 13 34 10 38 －1 64 ^^^^ 由表中数据得回归直线方程y＝bx＋a中的b＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量约为________度.
18＋13＋10＋（－1）24＋34＋38＋64
解析 根据题意知x＝＝10，y＝＝40，
44^＝40－(－2)×10＝60，
因为回归直线过样本点的中心，所以a所以当x＝－4时，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量约为68度. 答案 68 三、解答题
9.(2017·郑州调研)某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份 年份代号t 人均纯收入y 2009 1 2.9 2010 2 3.3 2011 3 3.6 2012 4 4.4 2013 5 4.8 2014 6 5.2 2015 7 5.9 (1)求y关于t的线性回归方程； (2)利用(1)中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
∑ （ti－t）（yi－y）i＝1^^＝－^－b＝，ay－bt. n
－2
∑ （ti－t）i＝1
1
解 (1)由所给数据计算得－t＝7(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， 1－
y＝7×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
i＝17
n
∑ (ti－t)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28， ∑ (ti－t)(yi－y)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋
7
i＝1
(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14， ^＝b
∑ （ti－t）（yi－y）i＝1
2
t∑ （t－）ii＝177
14
＝28＝0.5，
^＝y－b^t＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为^ay＝0.5t＋2.3.
^＝0.5>0，故2009至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐(2)由(1)知，b
年增加，平均每年约增加0.5千元.
^
将2017年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得y＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
10.(2017·西安质检)某省会城市地铁将于2017年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下： 月收入(单位：百元) 赞成定价 者人数 认为价格偏 高者人数 4 8 12 5 2 1 1 2 3 5 3 4 [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75] (1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；
2024版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第3讲 变量间的相关关系与统计案例 Word版含解析
