数学函数思想和模型思想在四年级数学教学中的应用
邯郸县实验小学 袁树芳
通过一个阶段的网络学习，让我对小学数学的函数思想有了更加清晰的认识：函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法，函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。并且对函数思想的教学更具理性，更有理论认识，而摒弃了更多的感觉。
而函数思想在小学阶段强调的是“渗透”，让学生感受到“于变化之中寻求不变，并把握规律的重要性”。小学阶段并不要求学习“形式化”的函数定义。在小学数学的教学中，我们最为教师，就应该将函数思想的渗透进行理智的、理性的处理。下面结合自己本学期的教学实际，谈谈自己在四年级的数学教学实际中函数思想渗透的粗浅做法：
一、在两位数除法的教学中渗透函数思想
冀教版小学数学四年级的第二单元是除法，学生在三年级一位数除法的基础上学习除数是两位数的除法，这类问题中除数不是整十数时，学生需要经历试商、调商的学习过程，试商的方法主要是运用“四舍五入”法，把除数看成一个接近的整十数试一试，这样就会出现商大或者小的情况，到底是四舍时商容易大，还是五入时商容易大呢？经过学生的试商练习，并组织学生进行小组合作讨论，孩子们在多次的试商经历中发现，在商不变的情况下，除数越小商越大，除数越大商越小的结论，由此，他们很轻松的、很准确的判断出用四舍法试商时，除数变小了，因此商容易偏大，用五入法试商时，除数变大
了，商容易偏小。有了这样的发现，学生在试商中就很容易知道调商的准确办法，同时也渗透了反比例的函数思想。有了这样的经历和发现，学生在做这样的一道题时：李阿姨要把200瓶罐头装入箱子里。（1）如果用50瓶装的，需要多少个箱子？（2）如果用40瓶装的，需要多少个箱子中？孩子们就会估算出，用50瓶装的箱子数要比40瓶装的箱子数少，这就是函数思想的运用。
二、在周期问题中渗透函数思想
在“周期问题”中的教学中培养学生的“模式化”的思想，发现规律就是发现一个“模式”。
(1)对图形排列规律的探索
学生在一年级的学习中就已经接触了图形的排列规律，让孩子们先观察图形是怎样排列的，按照自己发现的规律继续下去，后面一个应该是什么？摆一摆、涂一涂、接着摆等问题。重点突出刻画的是相同的规律，而这个一般化的过程就是对函数的一个最基本的性质——周期的渗透。到了四年级图形的排列规律问题得以延伸,成为数学中的周期问题，如：下面是按照一定的规律排列起来的一组图形：○○◎□□○○◎□□○○◎??找出图形的变化的周期，并算一算第201个图形是什么？
解决这类问题首先引导学生观察2个“○”，一个“◎”，2个“□”一次重复 出现，这就是这组图形的排列规律，这样每5个图形是1个周期。有了这样的观察，引导学生探究：要知道第201个图形是什么，是不是要把这201个图形都依次画出来呢？抛出这样的问题，学生就会去探索每个周期的模式，只要知道201中有多少个这样的周期就可以了。将图形与数学周期问题紧密结合，跟有助于渗透函
数思想的教育。丰富了学生对变量及变量之间关系的直观体验，对学生的后续学习有着重要的意义。为今后学习打下坚实的基础。
二、模型思想在数学教学中的应用
在小学数学教材中，模型无处不在。小学生学习数学知识的过程，实际上就是对一系列数学模型的理解、把握的过程。在小学数学教学中，重视渗透模型化思想，帮助小学生建立并把握有关的数学模型，有利于学生握住数学的本质。在四年级的教学中，我将数学模型思想巧妙地渗透在点滴之中。
（一）数概念模型的渗透
每一个数概念就是一个数学模型。自然数、分数、小数都是现实模型的抽象。
1．自然数的直观模型
教材中提供了两个孩子数星星的场景，通过这一情景，让孩子们理解，在数星星时，像1、2、3、4、5、6、7、8、9??这样一个一个的数，都是自然数，而在阴天时，一颗星星都看不见??，用“0”表示，因此“0”也是自然数。为拓展这一模型思想的渗透，我将数星星的事件拓展到数生活中的多种物品，如：数苹果、糖果、桌椅、练习本等，这样多种模型帮助学生经历、感受建模过程，体会模型思想。
自然数可以用直线上的点表示出来，这一模型的建立，更能有助于学生对自然数的认识，自然数有无限多个。所以我将自然数放到一条直线上，让学生观察直线上的数，交流自己的发现，并借助于电脑动画，理解“→”表示的含义，使学生很直观地感受到自然数的无限性。同时通过数直线上的点与数可以建立对应关系，可以很好地体现
出数序，可以帮助学生直观比较数的大小（在规定了右边为正方向后，右边的数比左边的大）。
2.大数模型的构建。
在本册教材，学生开始接触亿级数，我们知道一亿在孩子的们的思维中很难建立一个准确的概念，我根据教材的安排，先从较小的数开始，让孩子们借助数数，一个一个地数，10个十是一十，孩子的这一模型已经非常清晰，紧接着，一十一十地数，10个十是多少？学生依然熟悉，一百一百地数，10个百是多少？学生仍不陌生，就这样一直数下去，一千万一千万地数，10个一千万就是一亿，一亿这个大数，随着学生数数的进度，逐渐在头脑中建立起模型。这样还是不够的，紧接着，通过熟悉的事物让这一模型更加稳固：如果每秒数一个数，昼夜不停的数，那么从1数到1亿需要三年零两个多月！这是多大的一项工程？如果1亿人手拉手（人与人间隔1米），那么可以绕地球两圈半。这该是多么宏大的数据？一次紧接一次，将1亿1这个大数模型在孩子们的头脑中清晰起来。
(二)运算模型应用渗透
小学教材到四年级，学生接触到的数量关系有：路程=速度×时间，总价=单价×数量，为建立这一数学模型，我通过大量的生活实例，让学生理解这这一模型的构建。比如：我创设了小小购物街，让孩子们在模拟购物中，实践、交流、探索，在购物、交钱、找钱等系列活动中体会单价与数量的乘积就是购物总价。这样有了这一模型思想的建立，涉及到有关购物的问题，学生很自然就想到了这一数量关系。在比如：创设了动物运动会场景，让学生在计时赛中体会速度与时间、路程的关系。在通过这类问题的解决让这样模型更加清晰稳固：
一列火车，提速前平均每小时行驶71千米，从秦皇岛到邯郸用12小时。提速后从秦皇岛开往邯郸大约需要几小时？（提速后，平均每小时行驶95千米）这样的练习题，放手让孩子们去解决，利用已经构建的模型，结合生活实际，联系函数思想的运用，必然会培养学生的是解决问题的能力，是学习数学的兴趣，是学习数学的动力。
（三）几何图形是模型
每一种图形本身就是一种数学模型。点、线、面、基本的平面图形、立体图形的定义就是生活中几何模型向抽象的数学模型的构建过程。平面图形、立体图形的周长、面积、体积的计算公式就是模型化思想渗透的重要途径。
四年级教材开始学习线的知识，角的知识，这些更是生活中几何模型的抽象，绷紧的弓弦、人行横道线都是学生熟知的事物，我为了让学生从生活中的几何模型中抽象出线的的数学模型，借助了多媒体的动画制作，将这些事物中的模型从生活中直观的抽象出来：直直的、有两个端点，像这样绷紧的弓弦、人行横道线都可以近似的看作是线段，这样学生对线段的特点就能准确把握。
在直线的认识过程中，电脑动画更是发挥的淋漓尽致，将一条线段向两端无限延伸，就得到一条直线，那么，生活的那些事物是可以近似地看作直线的？这可难住了学生，在争论中，学生就对直线的特点逐渐清晰起来：没有端点，向两端无限延伸，这是数学中抽象出的一种线，生活中一不存在的，线段就是直线的一部分。同样射线的认识也有着与直线认识中近似的经历，生活中的探照灯射出的光线、太阳照射的光线可以近似看作射线，生活中也不存在抽象的射线。
我在教学中通过“情境——建模——应用、反思拓展”等途径，重视建模需要的思维方法的训练，让学生经历建模的过程，并实践应用中加以训练和提高，学生学到的是方法，经历的知识形成的全过程。
数学函数思想和模型思想在四年级数学教学中的应用
