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?l1 的解析式为： y ? ? x ?1.
（2）直线l1 与 y 轴相交于点C ，直线l2 与 x 轴相交于点 A ? C 的坐标为(0,1) ， A 点的坐标为(?2, 0) 则 AB ? 3 ，
而S四边形PAOC ? S?PAB ? S?BOC ， 1 1 5? ? 3? 2 ? ?1?1 ? ? S四边形PAOC
2 2 2
【点睛】本题考查了一次函数求解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，解本题的关键是求得各交点坐标求得线段长度，将不规则图形转化为规则图形求面积. 【变式 4-1】
（2019·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线l1 分别交 x 轴和 y 轴于点 A??3, 0?, B ?0,3? .
(1) 如图 1，已知 P 经过点O ，且与直线l1 相切于点 B ，求 P 的直径长；
(2) 如图 2，已知直线l2 : y ? 3x ? 3 分别交 x 轴和 y 轴于点C 和点 D ，点Q 是直线l2 上的一个动
点，以Q 为圆心， 2 2 为半径画圆.
①当点Q 与点C 重合时，求证: 直线l1 与 Q 相切；
②设 Q 与直线l1 相交于 M , N 两点， 连结QM , QN . 问:是否存在这样的点Q ，使得?QMN 是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
P 的直径长为3 2 ；(2) ①见解析；②存在这样的点Q1 (3 ??2, 6 ? 3 2) 和
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Q2 (3 ? 2, 6 ? 3 2) ，使得?QMN 是等腰直角三角形.
【解析】（1）连接 BC，证明△ABC 为等腰直角三角形，则⊙P 的直径长=BC=AB，即可求解；
（2） 过点C 作CE ? AB 于点 E ，证明 CE=ACsin45°=4×
2 2
=2 2 =圆的半径，即可求解；
（3） 假设存在这样的点Q ，使得?QMN 是等腰直角三角形，分点Q 在线段CF 上时和点Q 在
线段CF 的延长线上两种情况，分别求解即可． 【详解】
（1）如图 3，连接 BC，
∵∠BOC=90°， ∴点 P 在 BC 上，
∵⊙P 与直线 l1 相切于点 B， ∴∠ABC=90°，而 OA=OB， ∴△ABC 为等腰直角三角形， 则⊙P 的直径长=BC=AB=3 2 (2)如图 4 过点C 作CE ? AB 于点 E ，
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图 4
将 y ? 0 代入 y ? 3x ? 3 ，得 x ? 1 ， ∴点C 的坐标为?1, 0? . ∴ AC ? 4 ， ∵ ?CAE ? 45? ，
∴ CE ??
2 2
AC ? 2 2 .
∵点Q 与点C 重合，
又 Q 的半径为2 2 ， ∴直线l1 与 Q 相切.
②假设存在这样的点Q ，使得?QMN 是等腰直角三角形， ∵直线l1 经过点 A??3, 0?, B ?0,3? ，
∴ l 的函数解析式为 y = x + 3 .
记直线l2 与l1 的交点为 F ， 情况一：
如图 5，当点Q 在线段CF 上时，
由题意，得?MNQ ? 45? . 如图，延长 NQ 交 x 轴于点G ，
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图 5
∵ ?BAO ? 45?，
∴ ?NGA ? 180? ? 45? ? 45? ? 90? ， 即 NG ? x 轴，
∴点Q 与 N 有相同的横坐标， 设Q ?m, 3m ? 3? ，则 N ?m, m ? 3? ， ∴ QN ? m ? 3 ??3m ? 3? .
∵ Q 的半径为2 2 ， ∴ m ? 3 ? (3m ? 3) ? 2 2 ， 解得m ? 3 ? 2 ， ∴ 3m ? 3 ? 6 ? 3 2 ，
∴ Q 的坐标为(3 ? 2, 6 ? 3 2) . 情况二：
当点Q 在线段CF 的延长线上时，同理可得m ? 3 ? 2 ， Q 的坐标为(3 ? 2, 6 ? 3 2) .
∴存在这样的点Q1 (3 ??2, 6 ? 3 2) 和Q2 (3 ??2, 6 ? 3 2) ，使得?QMN 是等腰直角三角形.
【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点，其中（2），关键要确定圆的位置，分类求解，避免遗漏．
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y ?
【变式 4-2】（2019·四川中考真题）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(0 , 2) ，动点 P 在 的图像上运动（不与O 重合），连接 AP ，过点 P 作 PQ ? AP ，交 x 轴于点Q ，连接 AQ ．
3 3
x
（1） 求线段 AP 长度的取值范围；
（2） 试问：点 P 运动过程中， ?QAP 是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理
由．
（3） 当?OPQ 为等腰三角形时，求点Q 的坐标．
【答案】（1）AP ? 3 ；（2）?QAP 为定值，?QAP =30°；（3）Q1(2 3 ? 4 , 0) ， Q2 (2 3 ? 4 , 0)， 2 3
, 0) Q3 (?2 3 , 0) ， Q ( 4
3
【解析】（1）作 AH ? OP ，由点 P 在 y ??
3 3
x 的图像上知： ?HOQ ? 30? ，求出 AH，即可得
?
解；
（2） ①当点 P 在第三象限时，②当点 P 在第一象的线段OH 上时，③当点 P 在第一象限的线
段OH 的延长线上时，分别证明Q 、 P 、O 、 A 四点共圆，即可求得?QAP =30°；
（3） 分OP ? OQ ， PO ? PQ ， QO ? QP 三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）作 AH ? OP ，则 AP ? AH
2020年中考数学压轴题必考题型一次函数问题考点专练(pdf,含解析)
