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高中数学必修一之知识讲解_指数函数、对数函数、幂函数综合_提高

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指数函数、对数函数、幂函数综合

【学习目标】

1.理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算.

2.理解指数函数的概念和意义,理解指数函数的单调性与特殊点. 3.理解对数的概念及其运算性质.

4.重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质,熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.

5.会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质.

6.知道指数函数y?ax与对数函数y?logax互为反函数(a>0,a≠1). 【知识框图】

【要点梳理】

要点一:指数及指数幂的运算 1.根式的概念

a的n次方根的定义:一般地,如果xn?a,那么x叫做a的n次方根,其中n?1,n?N*

当n为奇数时,正数的n次方根为正数,负数的n次方根是负数,表示为na;当n为偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数可以表示为?na.

负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0.

式子na叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数. 2.n次方根的性质:

(1)当n为奇数时,nan?a;当n为偶数时,nan?a???a,a?0,

??a,a?0;(2)

?a?nn?a

mn3.分数指数幂的意义:

a?amnnm?a?0,m,n?N,n?1?;a??1amn?a?0,m,n?N,n?1?

要点诠释:

0的正分数指数幂等于0,负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质:

?a?0,b?0,r,s?Q?

(1)aa?arsr?srr (2)(ar)s?ars (3)?ab??ab

r要点二:指数函数及其性质 1.指数函数概念

一般地,函数y?ax?a?0,且a?1?叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R. 2.指数函数函数性质: 函数 名称 定义 指数函数 函数y?ax(a?0且a?1)叫做指数函数 a?1 y y?ax (0,1) O x 0?a?1 y?axy图象 y?1y?1(0,1) 1 0 OR 1 0 x定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况 在R上是增函数 (0,??) 图象过定点(0,1),即当x?0时,y?1. 非奇非偶 在R上是减函数 ax?1(x?0)ax?1(x?0) ax?1(x?0)ax?1(x?0)ax?1(x?0) ax?1(x?0)a变化对图象的影响 在第一象限内,从逆时针方向看图象,a逐渐增大;在第二象限内,从逆时针方向看图象,a逐渐减小.

要点三:对数与对数运算 1.对数的定义

(1)若a?N(a?0,且a?1),则x叫做以a为底N的对数,记作x?logaN,其中a叫做底数,

xN叫做真数.

(2)负数和零没有对数.

(3)对数式与指数式的互化:x?logaN?ax?N(a?0,a?1,N?0). 2.几个重要的对数恒等式

loga1?0,logaa?1,logaab?b.

3.常用对数与自然对数

常用对数:lgN,即log10N;自然对数:lnN,即logeN(其中e?2.71828…). 4.对数的运算性质

如果a?0,a?1,M?0,N?0,那么 ①加法:logaM?logaN?loga(MN) ②减法:logaM?logaN?logaM N③数乘:nlogaM?logaMn(n?R) ④alogaN?N

n⑤logabM?nlogaM(b?0,n?R) b⑥换底公式:logaN?logbN(b?0,且b?1)

logba要点四:对数函数及其性质 1.对数函数定义

一般地,函数y?logax?a?0,且a?1?叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域?0,???. 2.对数函数性质: 函数 名称 定义 对数函数 函数y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数 a?1 0?a?1 yx?1 y?logaxyx?1 图象 O1 0 (1,0)xO1 0 y?logax (1,0) x 定义域 (0,??)

值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况 在(0,??)上是增函数 R 图象过定点(1,0),即当x?1时,y?0. 非奇非偶 在(0,??)上是减函数 logax?0(x?1)logax?0(x?1)logax?0(0?x?1) logax?0(x?1)logax?0(x?1)logax?0(0?x?1) a变化对图象的影响 在第一象限内,从顺时针方向看图象,a逐渐增大;在第四象限内,从顺时针方向看图象,a逐渐减小.

要点五:反函数 1.反函数的概念

设函数y?f(x)的定义域为A,值域为C,从式子y?f(x)中解出x,得式子x??(y).如果对于

y在C中的任何一个值,通过式子x??(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子x??(y)表

示x是y的函数,函数x??(y)叫做函数y?f(x)的反函数,记作x?f?1(y),习惯上改写成

y?f?1(x).

2.反函数的性质

(1)原函数y?f(x)与反函数y?f?1(x)的图象关于直线y?x对称.

(2)函数y?f(x)的定义域、值域分别是其反函数y?f?1(x)的值域、定义域. (3)若P(a,b)在原函数y?f(x)的图象上,则P'(b,a)在反函数y?f?1(x)的图象上. (4)一般地,函数y?f(x)要有反函数则它必须为单调函数. 要点六:幂函数

1.幂函数概念

形如y?x(??R)的函数,叫做幂函数,其中?为常数. 2.幂函数的性质

(1)图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.

(2)过定点:所有的幂函数在(0,??)都有定义,并且图象都

?

通过点(1,1).

(3)单调性:如果??0,则幂函数的图象过原点,并且在[0,??)上为增函数.如果??0,则幂函数的图象在(0,??)上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与y轴.

(4)奇偶性:当?为奇数时,幂函数为奇函数,当?为偶数时,幂函数为偶函数.当??qpq(其中pqpp,q互质,p和q?Z),若p为奇数q为奇数时,则y?x是奇函数,若p为奇数q为偶数时,则y?x是偶函数,若p为偶数q为奇数时,则y?x是非奇非偶函数.

qp(5)图象特征:幂函数y?x?,x?(0,??),当??1时,若0?x?1,其图象在直线y?x下方,若x?1,其图象在直线y?x上方,当??1时,若0?x?1,其图象在直线y?x上方,若x?1,其图象在直线y?x下方.

【典型例题】

类型一:指数、对数运算 例1.计算 (1) log271?log212?log242; (2)lg32?lg35?3lg2lg5; 482lg0.72?1?22(3)lg5?lg8?lg5lg20?lg2;(4)7lg20???3?2?【答案】(1)?

【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂,而小数也要化为分数为好.

1;(2)1;(3)3;(4)14. 21?7??11?1?2?12??log?log2??【解析】(1)原式=log2?; ?2?2??43?27?6??2??22(2)原式=?lg2?lg5?lg2?lg2lg5?lg5?3lg2lg5

?? =lg10???lg5?lg2??3lg2lg5??3lg2lg5

2?? =1-3lg2lg5+3lg2lg5=1

(3)原式=2lg5?2lg2?lg5?1?lg2??lg2

2=2?lg5?lg2??lg5?lg2(lg2?lg5) =2+lg5?lg2=3;

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