第66题 空间几何体的外接球与内切球
I．题源探究·黄金母题
【例3】【2017天津理10】已知一个正方体的所【例1】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为acm，有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为求球的体积．
【解析】设球的半径为R，由正方体与球的组合结构特征知，正方体的体对角线为球的直径，所以2R?3a，
【答案】18，则这个球的体积为 . 9? 2【解析】设正方体边长为a，则 3434a，所以球的体积为V??R3＝?(a)3 即R?23236a2?18?a2?3 ，外接球直径为 ＝
33a． 22R?3a?3,V?II．考场精彩·真题回放
【例2】【2017课标3理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A．π
434279πR?π??π. 3382【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的3ππ B． C．
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πD．
4直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方【答案】B
【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：AC?1,AB?1，结合勾股定理，底面半径 223?1?r?12????，由圆柱的体积公式可得：圆柱的22法. ???3?32?1??，故选B. 体积是V??rh??????2?4??2【例4】【2016全国新课标Ⅲ卷】在封闭的直三棱柱ABC?A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB?BC，AB?6，BC?8，AA1?3，则V的最大值是（ ） A．4? B．【答案】B 【解析】要使球的体积V最大，必须球的半径R最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值
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9?32? C）6π D． 233，此时球的体积为21 434339?R??()??，故选B． 3322【例5】【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( ) A．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C
如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端A．500cm3 B．866cm3 点时，三棱锥O?ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO?ABC?VC?AOB33111??R2?R?R3?36，故3262C．1372320483cm D．cm 33R?6，则球O的表面积为S?4?R?144?，故选C． C【答案】 A
【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为
R?2，则R2?(R?2)2?42，解得R?5，∴
OAB4??535003球的体积为=cm，故选A．
33精彩解读
【试题来源】人教版A版必修二第28页练习第2题． 【母题评析】本题是球的正方体构成的组合体问题，因这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力．这在高考中常常以单独考查的方式出现在选择题与填空题中，在解答题中通常不会出现． 【思路方法】根据所涉及到几何体组合的结构特
【例6】【2014全国大纲卷】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是( ) A．
81?27? B．16? C．9? D． 44【答案】A
【解析】由已知条件可知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为R，球心为O，正四棱锥底面中心为为E,则OE垂直
棱
锥
底
面
，
OE?4?R,所以2（4?R）?(2)2?R2(2)2?R2，解得R?9，所以球征，寻求代表它们的几何量间的关系，通常建立4方程简单的等式来求解，主要体现为方程思想与转化思想的应用．
81?2的表面积S?4?R=，故选A．
4【例7】【2013新课标I卷】如图，有一个水平放置的透明 【命题意图】本类题主要考查空间几何体结构特
无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，征、的表面积与体积的计算，以及考查逻辑思维再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，2 2 / 16
能力、空间想象能力、运算求解能力、方程思想的应用．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，不会渗透于解答时中，难度中等或中等偏上．
【难点中心】求组合体的表面积与体积，主要两类难点：（1）不能作出或想象两个几何体间的组合方式与结构特征；（2）不能正确建立两个几何量间的关系．
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III．理论基础·解题原理
考点一 棱体的表面积
计算棱体（棱柱、棱锥、棱台）的表面积主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求解．n棱柱的展开图由两个全等的n边形与n个平行四边形组成；n棱锥的展开图由一个n边形与n个共顶点三角形组成；n棱台的展开图由两个相似的n边形与n个梯形组成．这些平面图形的面积即为相应的棱柱、棱锥、
2棱台的表面积．特别地，棱长为a的正方体的表面积S正?6a，长、宽、高分别为a、b、c的长方体的表
面积S长?2(ab＋bc＋ca)． 考点二 圆体的表面积
圆体（圆柱、圆锥、圆台）的表面积公式表现为两部分，即侧面积与底面积，其侧面积可以利用侧面展开图得到．其中圆柱的侧面展开图是一个矩形，其宽是圆柱母线的长，长为圆柱底面周长；圆锥的侧面展开图为扇形，其半径为圆锥母线长，弧长为圆锥底面周长；圆台的侧面展开图为扇环，其两弧长分别为圆台的两底周长，两“腰”为圆台的母线长． 考点三 柱体的体积
柱体（棱柱、圆柱）的体积由底面积S和高h确定，即V柱体?Sh．特别地，底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V柱体??rh．根据公式求棱柱的体积，“定高”是至关重要的． 考点四 锥体的体积
锥体（棱锥、圆锥）的体积等于它的底面积是S和高h的积，即V圆锥?是h的圆锥的体积是V圆锥?21Sh．特别地，底面半径是r，高312?rh． 343?r，知球的表面积和体积只须求一个条件，那就是球的3考点五 球的体积与表面积
根据球的表面积公式S?4?r与体积公式V?2半径R．关于两个球的体积比与表面积比之间的转换可转化为球的半径立方比与平方比．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这在高考中常常以单独考查的方式出现在选择题与填空题中，在解答题中通常不会出现． 【技能方法】
1．当给出的几何体比较简单时，可直接通过寻求两个几何体的几何量间的关系进行求解；
2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧， (1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．
(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、
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正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法． 【易错指导】
（1）不能作出或想象两个几何体间的组合方式与结构特征而出现思维上的障碍； （2）不能正确建立两个几何量间的关系而致错．
V．举一反三·触类旁通
考向1 球与棱柱的组合体
【例1】【2017云南第二次统一检测】已知体积为46的长方体的八个顶点都在球O的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为23、43,那么球O的体积等于（ ） A．
167?117?32?33? B． C． D．
3232【答案】A
【解析】设这两个面的边长分别为a,b,c,则不妨设ab?23,bc?43,abc?46,则
a?2,b?6,c?22,则该长方体的外接球的直径d?2?6?8?4,故球的体积为
432V???23??，故选A．
33【解法指导】长方体（或正方体）外接球的组合问题，主要抓住的几何特征是：长方体（或正方体）的体对角线等于球体的直径．
【例2】【2018宝鸡模拟】已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A.32?4? B.4? C.2? D. 33【答案】D
【例3】【2018届四省名校大联考】已知正三棱柱（上下底面是等边三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱）的高为2，它的6个顶点都在体积为82?的球的球面上，则该正三棱柱底面三角形边长为（ ） 3A.
3 B.
3 C. 3 D. 23 2【答案】A
【解析】设正三棱柱的外接球半径为R，底面三角形外接圆半径为r，边长为a，
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第66题 空间几何体的外接球与内切球-2018原创精品之高中数学（理）黄金100题系列（解析版）
