第二章 统计
2.2 用样本估计总体
1．用样本的频率分布估计总体分布 （1）频率分布直方图
频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小．一般用频率分布直方图反映样本的频率分布，频率分布直方图的绘制步骤如下：
①求极差（即一组数据中_________与_________的差）．
②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定标准，需要一个尝试与选择的过程．组数与样本容量有关，一般样本容量越大，所分组数越多．当样本容量不超过100时，按照数据的多少，常分成5～12组． 为方便起见，组距的选择应力求“取整”．组数=极差． 组距③将数据分组．通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间．
④列频率分布表．落在各小组内的数据的个数叫做频数，每小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率．计算各小组的频率，作出频率分布表．
⑤画频率分布直方图：依据频率分布表画频率分布直方图，其中纵坐标（小长方形的高）表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积，即
每个小长方形的面积??????????????????．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据
落在各个小组的频率的大小，各个小长方形面积的总和等于__________． （2）总体密度曲线
①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的__________，就得到频率分布折线图． ②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作频率分布直方图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息． （3）茎叶图
①概念：统计中有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图．茎是指基本不变或变化不大的位，叶就是从茎
的旁边生长出来的数．
②绘制步骤：（a）将数据分为“茎”、“叶”两部分；（b）将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，茎相同者共用一个茎，再画上竖线作为分界线；（c）将各个数据的“叶”按大小顺序在分界线的一侧对应茎处同行列出．
③优缺点：在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便，因为每一个数据都要在图中占据一定的空间，如果数据很多，枝叶就会很长．
注意：绘制茎叶图时，重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”位置的数据．同一数据出现几次，就要在图中体现几次． 2．用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）众数、中位数、平均数
①众数：在一组数据中出现次数__________的数据叫做这组数据的众数．在频率分布直方图中，它是最高的小长方形的__________．
②中位数：将一组数据按__________顺序依次排列，把处在最__________位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数．因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． ③平均数：n个样本数据x1,x2,???,xn的平均数为x?x1?x2?????xn．由于样本平均数与每一个样本数
n据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．但特殊情况下，平均数可能受极端值的影响而偏离一般情况．
在频率分布直方图中，平均数的估计值等于__________． （2）标准差和方差
①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．假设样本数据是x1,x2,???,xn，
x表示这组数据的平均数，则标准差s?_____________．
②方差：方差就是标准差的平方，即s?____________．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
③标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度__________；标准差、方差越小，数据的离散程度__________．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小．
2
K知识参考答案：
1．（1）①最大值 最小值 ⑤组距?频率 频率 1 （2）①中点 组距2．（1）①最多 中点 ②大小 中间 ③每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 （2）①11[(x1?x)2?(x2?x)2?????(xn?x)2] ②[(x1?x)2?(x2?x)2?????(xn?x)2] ③越大 越小 nn
K—重点 K—难点 K—易错 频率分布直方图、茎叶图的绘制及读图，平均数和方差的简单计算 能通过样本的频率分布估计总体的分布 容易忽略频率分布直方图中纵轴的意义，从而造成频率分布直方图画错 1．频率分布直方图
在绘制频率分布直方图时，要注意：
（1）所有的数据都必须在所分的组内，可适当将区间两端点的数据调整以便于分组； （2）落在各小组内的频数必须计算正确.
在根据频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：
频率?频率； 组距频数（2）=频率，
样本容量（1）组距?及其变形：
频数=样本容量，样本容量?频率=频数. 频率【例1】某厂对一批产品进行抽样检测,如图是抽检产品净重(单位：克)的频率分布直方图,样本数据分组为
[76,78),[78,80),???,[84,86].若这批产品有120个,估计其中净重大于或等于78克且小于84克的产品的个
数是
A．12 C．25 【答案】D
【解析】净重大于或等于78克且小于84克的频率为(0.100?0.150?0.125)?2?0.75，所以在该范围内的产品个数为120?0.75?90.
【例2】从某校参加高一年级基础知识数学测试的450名同学中，随机抽取若干名同学，将他们的成绩制成如下频率分布表.
（1）根据表中已知数据，填写在①、②、③处的数值分别为______ ， ______ ， ______ ； （2）补全在区间[90，160]上的频率分布直方图； （3）请你估计该校成绩不低于130分的同学人数.
B．18 D．90
分组 [90，100） [100，110） [110，120） [120，130） [130，140） [140，150） [150，160] 合计 频数 16 2 ③ 频率 0.08 ② 0.36 0.32 0.08 ① 0.02
【答案】答案详见解析.
（2）求出每组的
频率，即为矩形的高，补全在区间[90，160]上的频率分布直方图如图所示： 组距
（3）50?(0.08?0.04?0.02)?7，则在随机抽取的50名学生中有7名不低于130分.
450?7?63，则450名学生中不低于130分的大约有63名. 50【名师点睛】在频率分布直方图中，纵坐标表示的是频率与组距的比，不要误以为是频率，解题时要格外注意.在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于相应各组的频率，又各组的频率之和为1，所以所有
高中数学必修3讲义 专题2.2 用样本估计总体
