课时分层训练(二十七)数系的扩充与复数的引入
A组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·南昌一模)在复平面内，复数(1＋3i)·i对应的点位于( )
【导学号：31222158】
A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
B [复数(1＋3i)i＝－3＋i在复平面内对应的点为(－3，1)，位于第二象限，故选B.]
2．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝( ) A．－3 C．2
B．－2 D．3
A [(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.] －23．(2016·山东高考)若复数z＝，其中i为虚数单位，则z＝( )
1－iA．1＋i C．－1＋i
221＋i2
B [∵z＝＝＝
1－i1－i1＋i
B．1－i D．－1－i
－1＋i
＝1＋i，∴z＝1－i.] 2
4．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( ) A．1 C.3
B.2 D．2
B [∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi. 又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1. ∴|x＋yi|＝|1＋i|＝2，故选B.]
5．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是 ( ) A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2 B．若z1＝z2，则z1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2 D．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2
D [对于A，|z1－z2|＝0?z1＝z2?z1＝z2，是真命题；对于B，C易判断是真命题；
2
2
对于D，若z1＝2，z2＝1＋3i，则|z1|＝|z2|，但z1＝4，z2＝－2＋23i，是假命题．]
6．若i为虚数单位，图4-4-3中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
1＋i【导学号：31222159】
22
z
图4-4-3
A．E C．G
D [由题图知复数z＝3＋i， ∴
3＋i＝＝1＋i1＋i
B．F D．H
z3＋i1＋i1－i4－2i
＝＝2－i. 1－i2
∴表示复数的点为H.]
1＋i7．已知复数z＝1＋
2i22019
，则1＋z＋z＋…＋z＝( ) 1－i
【导学号：31222160】
A．1＋i C．i
2i2i
D [z＝1＋＝1＋
1－i1－i＝＝0.]
1－i
二、填空题
8．(2016·江苏高考)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．
5 [因为z＝(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i＝5＋5i，所以z的实部是5.] 1＋ai
9．已知a∈R，若为实数，则a＝________.
2－i11＋ai1＋ai－ [＝22－i2－i∵
2＋i2＋i＋2ai－a2－a1＋2a＝＝＋i. 2＋i555
2
4×505
zB．1－i D．0
1＋i1×1－z22019
＝i，∴1＋z＋z＋…＋z＝21－z2020
1－i
＝
1－i
2020
1＋ai1＋2a1
为实数，∴＝0，∴a＝－.] 2－i52
10．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝3，则的最大值为________.
【导学号：31222161】
3 [∵|z－2|＝∴(x－2)＋y＝3. 由图可知??max＝
2
2
yxx－2
2
＋y＝3，
2
?y??x?
3
＝3.] 1
B组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1313
1．已知复数z1＝－＋i，z2＝－－i，则下列命题中错误的是 ( )
2222
【导学号：31222162】
A．z1＝z2 B．|z1|＝|z2| C．z1－z2＝1
D．z1，z2互为共轭复数
3133?21－3?12
C [依题意，注意到z1＝?－＋i?＝－i＝－－i＝z2，因此选项A正确；
4222?22?13
注意到|z1|＝1＝|z2|，因此选项B正确；注意到z1＝－－i＝z2，因此选项D正确；注
223?2?13??13??13??1323
意到z1＝z1·z1＝?－＋i?·?－＋i?＝?－－i??－＋i?＝1，同理z2＝1，因
?22??22??22??22?此z1－z2＝0，选项C错误．综上所述，选C.]
2．设f(n)＝?A．1 C．3 C [f(n)＝?
3
33
3
2
?1＋i?n＋?1－i?n(n∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为( )
????1－i??1＋i?
B．2 D．无数个
?1＋i?n＋?1－i?n＝in＋(－i)n，
????1－i??1＋i?
f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…，
∴集合中共有3个元素．]
3．已知集合M＝{1，m,3＋(m－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数m的值为________．
3或6 [∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1?M， ∴m≠－1,3＋(m－5m－6)i＝3或m＝3， ∴m－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，
2
2
2
解得m＝6或m＝3.]
4．已知复数z1＝cos 15°＋sin 15°i和复数z2＝cos 45°＋sin 45°i，则z1·z2
＝________.
13
＋i [z1·z2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°22
－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i13＝＋i.] 22
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