六、递推法
方法简介
递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况。 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。 具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论。 再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式。
试题精析
例1：质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t，加速度变为3a；… ；在nt时刻，加速度变为(n + 1) a，求： （1）nt时刻质点的速度； （2）nt时间内通过的总路程。
解析：根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解。 （1）物质在某时刻t末的速度为vt = at
2t末的速度为v2t = vt + 2at 即v2t = at + 2at 3t末的速度为v3t = v2t + 3at = at + 2at + 3at ……
则nt末的速度为vnt = v(n－)t + nat = at + 2at + 3at + … + nat = at (1 + 2 + 3 + … + n)
= at?11(n + 1)n =n (n + 1)at 221n (n + 1)(2n + 1)at2 12 （2）同理：可推得nt内通过的总路程s =
例2：小球从高h0 = 180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小
1（n = 2），求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程。（g取10m/s2） n解析：小球从h0高处落地时，速率v0 =2gh0= 60m/s 第一次跳起时和又落地时的速率v1 =第二次跳起时和又落地时的速率v2 =……
第m次跳起时和又落地时的速率vm =
v0 2mv0 2v0 22hv2v12h0每次跳起的高度依次为h1 ==2，h2 =2=0，……，
2gn42gn通过的总路程Σs = h0 + 2h1 + 2h2 + … + 2hm + …
= h0 +
2h0111(1 +++ … ++ …) n2n2n4n2m?22h0n2?15 =h0 +2= h0?2=h0 = 300m
n?1n?13经过的总时间为Σt = t0 + t1 + t2 + … + tm + … v2v2v =0+1+ … +m+ …
ggg = =
v011［1 + 2?+ … + 2?()m + …］
nngv0n?13v0==18s ?gn?1g例3：A 、B 、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？
解析：由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图6—1所示。所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解。
设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔Δt，在每一个Δt内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔Δt ，正三角形的边长分别为a1、a2、a3、…、an，显然当an→0时三只猎犬相遇。
a1 = a－AA1－BB1cos60°= a－vΔt a2 = a1－vΔt = a－2×vΔt a3 = a2－vΔt = a－3×vΔt …… an = a－n?因为a－n?所以：t =
3vΔt 23vΔt= 0 ，即nΔt= t 232323232322a 3v（此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解。）
例4：一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为m ，若一次直接起动，车头的牵引力能带动30节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？
解析：若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，
若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同。
原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在Δs的宽松距离，设火车的牵引力为F ，则有：
车头起动时，有：(F－μmg)Δs =mv12 拉第一节车厢时：(m + m)v1?= mv1
?2=故有：v1121Fv=(－μg)Δs 412m121212?2 (F－2μmg)Δs =×2mv2－×2mv12拉第二节车厢时：(m + 2m)v?= 2mv2 2故同样可得：v?=2……
2推理可得：v?=n422F5v2=(－μg)Δs 93m3nF2n?1(－μg)Δs n?1m32由v?＞0可得：F＞n2n?1μmg 3另由题意知F = 31μmg，得：n＜46
因此该车头倒退起动时，能起动45节相同质量的车厢。 例5 有n块质量均为m，厚度为d的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图6—2所示，人至少做多少功？
解析 将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算。
将第2块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为 W2 = mgd
将第3 、4 、… 、n块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功分别为： W3 = mg2d W4 = mg3d W5 = mg4d ……
Wn = mg (n－1)d
所以将n块砖叠放起来，至少做的总功为
W=W1+W2+W3+…+Wn = mgd + mg2d + mg3d + … + mg (n－1)d
n(n?1)mgd 2例6：如图6—3所示，有六个完全相同的长条薄片AiBi（i = 2 、4 、…）依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置（不计薄片的质量）。 将质量为m的质点置于A1A6的中点处，试求：A1B1薄片对A6B6的压力。
解析：本题共有六个物体，通过观察会发现，A1B1 、A2B2 、…、A5B5的受力情况完全相同，因此将A1B1 、A2B2 、…A5B5作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解。
以第i个薄片AB为研究对象，受力情况如图6—3甲所示，第i个薄片受到前一个薄片向上的支持力Ni 、
碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力Ni+1。 选碗边B点为轴，根据力矩平衡有：
Ni?L = Ni+1?12L1，得：Ni =Ni+1 22111?N3 = … = ()5N6① 222所以：N1 =N2 =
再以A6B6为研究对象，受力情况如图6—3乙所示，A6B6
受到薄片A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力和后一个薄片A1B1向下的压力N1 、质点向下的压力mg 。 选B6点为轴，根据力矩平衡有：
N1?L3L+ mg?= N6?L ② 24mg 42mg。 42L）的正方形，要求此桥具有4由①、②联立，解得：N1 =
所以，A1B1薄片对A6B6的压力为
例7：用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块长度为L ，横截面是边长为h（h =
最大的跨度（即桥孔底宽），计算跨度与桥孔高度的比值。
解析：为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相同的积木块，从上往下计算，使积木块均能保证平衡，要满足合力矩为零，平衡时，每块积木块都有最大伸出量，则单孔桥就有最大跨度，又由于每块积木块都有厚度，所以最大跨度与桥孔高度存在一比值。
将从上到下的积木块依次计为1 、2 、… 、n ，显然第1块相对第2块的最大伸出量为：Δx1 =
L 2第2块相对第3块的最大伸出量为Δx2（如图6—4所示），则：
G?Δx2 = (得：Δx2 =
L－Δx2)?G 2LL= 42?2同理可得第3块的最大伸出量： Δx3 =……
最后归纳得出：Δxn =
9L 2?3L 2?n所以总跨度：k = 2??xn= 11.32h
n?1跨度与桥孔高的比值为：
k11.32h==1.258 H9h例8：如图6—5所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都
记为n（n = 1 、2 、3 、…）。 每人只有一个沙袋，x＞0一侧的每个沙袋质量为m=14kg ，x＜0一侧的每个沙袋质量m′= 10kg 。一质量为M=48kg的小车以某初速度v0从原点出发向正x轴方向滑行。 不计轨道阻力。 当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度v朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，v的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍。（n是此人的序号数）
（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？
（2）车上最终有大小沙袋共多少个？
解析：当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时，由动量守恒定律知，车速要减小，可见，当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上，总有一时刻使车速反向或减小到零，如车能反向运动，则另一边的人还能将沙袋扔到车上，直到车速为零，则不能再扔，否则还能扔。
小车以初速v0沿正x轴方向运动，经过第1个（n = 1）人的身旁时，此人将沙袋以u = 2nv0 = 2v0的水平速度扔到车上，由动量守恒得：Mv0－m?2v0 = (M + m)v1 ，当小车运动到第2人身旁时，此人将沙袋以速度u′= 2nv1 = 4v1的水平速度扔到车上，同理有：(M + m)v1－m?2nv1 = (M + 2m)v2 ，所以，当第n个沙袋抛上车后的车速为vn ，根据动量守恒有：［M + (n－1)m］vn－1－2n?mvn－1 = (M + nm)vn ，即：vn =
同理有：vn+1 =
M?(n?2)mvn
M?(n?1)mM?(n?1)mvn－1 。
M?nm若抛上（n + 1）包沙袋后车反向运动，则应有vn＞0 ，vn+1＜0 即：M－(n + 1)m＞0 ，M－(n + 2)m＜0 由此两式解得：n＜
3820，n＞。因n为整数，故取3 。 1414
中学物理解题思维之递推法
