点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，
待定系数法求二次函数的解析式等，求得△BOD是等边三角形是解题的关键． 23．（10分）（2015?大连）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分
∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若AB=6，AD=4
，求EF的长．
考点：切线的判定．分析：（1）连接OD，由题可知，E已经是圆上一点，欲证CD为切线，只需证明
∠OED=90°即可．
（2）连接BD，作DG⊥AB于G，根据勾股定理求出BD，进而根据勾股定理求得
DG，根据角平分线性质求得DE=DG=即可求得EF的长．解答：（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠EAD．∵OE=OA，
∴∠ODA=∠OAD．∴∠ODA=∠EAD．∴OD∥AE．
∵∠ODF=∠AEF=90°且D在⊙O上，∴EF与⊙O相切．
（2）连接BD，作DG⊥AB于G，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∵AB=6，AD=4∴BD=
，=2，
，然后根据△ODF∽△AEF，得出比例式，
∵OD=OB=3，
设OG=x，则BG=3﹣x，
∵OD2﹣OG2=BD2﹣BG2，即32﹣x2=22﹣（3﹣x）2，解得x=，∴OG=，
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∴DG==，
∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB，∴DE=DG=∴AE=
∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF，∴
=
，即
=
，
，
=
，
∴=，
∴EF=．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，切线的判定等知识点的应用，主要
考查学生运用性质进行推理和计算的能力，两小题题型都很好，都具有一定的代表性．
五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）24．（11分）（2015?大连）如图1，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA=2，点P，Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，过点Q作AC的垂线段QR，使QR=PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动．设PQ=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤，＜x≤m时，函数的解析式不同）．（1）填空：n的值为
；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
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考点：动点问题的函数图象．分析：
（1）当x=时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，然后根据PQ=
，QR=PQ，求出n的值是多少即可．
（2）首先根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：当0＜x≤时，S=×PQ×RQ=x2，判断出当点Q点运动到点A时，x=2AD=4，据此求出m=4；然后求出当＜x≤4时，S关于x的函数关系式即可．解答：解：（1）如图1，
，
当x=时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，∵PQ=，QR=PQ，∴QR=，
∴n=S=×（）2=×
=
．
（2）如图2，
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，
根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：当0＜x≤时，S=×PQ×RQ=x2，当点Q点运动到点A时，x=2AD=4，∴m=4．当＜x≤4时，
S=S△APF﹣S△AQF=AP?FG﹣AQ?EQ，AP=2+，AQ=2﹣，∵△AQE∽△AQ1R1，
，
∴QE=
设FG=PG=m，∵△AGF△AQ1R1，
，
，
∴AG=2+﹣m，
∴m=，
∴S=S△APF﹣S△AQE=AP?FG﹣AQ?EQ
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=（2=∴S=
）x2+x2+
（2）﹣（2﹣）?（2）
．
综上，可得
S=
故答案为：．
点评：此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：图象
应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 25．（12分）（2015?大连）在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．
考点：相似三角形的判定与性质．分析：（1）如图1，连结AE．先由DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，由∠ADF+∠DEC=180°，得
出∠ADF=∠DEB．由∠AFE=∠BDE，得出∠AFE+∠ADE=180°，那么A、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由
∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，则∠AEB=∠DEF=∠BAE，根据等角对等边得出AB=BE；
（2）如图2，连结AE．由A、D、E、F四点共圆，得出∠ADF=∠AEF，由
∠DAF=90°，得出∠DEF=90°，再证明∠DEB=∠AEF．又∠AFE=∠BDE，根据两角对应相等的两三角形相似得出△BDE∽△AFE，利用相似三角形对应边成比例得到
=．在直角△DEF中，利用勾股定理求出EF==DF，然后
将AF=m，DE=kDF代入，计算即可求解．
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2015年辽宁省大连市中考数学试题及解析
