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二次函数与一元二次方程
知识要点梳理: 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况:两个公共点(即有两个交点),一个公共点,没有公共点,因此有: (1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1,0)(x2,0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根△=b2-4ac>0。
(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时,此公共点即为顶点
一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根,
(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0.
(4)事实上,抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。
抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。 典例精讲 例1(2008枣庄)在直角坐标平面中,O为坐标原点,二次函数y??x2?(k?1)x?4的图象与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B,且S?OAB?6.
(1)求点A与点B的坐标;(2)求此二次函数的解析式; (3)如果点P在x轴上,且△ABP是等腰三角形,求点
P的坐标.
例2已知二次函数y=x2-〔m2+8〕x+2〔m2+6〕, ⑴求证;不论m取任何实数,此函数图象都与x轴有两个交点,且两个交点都在x轴的正半轴上。
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⑵设抛物线顶点为A,与X轴交于B,C两点,问是否存在实数M,使三角形ABC为等腰直角角形?如果存在,求出M的值;如果不存在,请说明理由。
例3(2009遂宁)如图,二次函数的图象经过点D(0,73),
9且顶点C的横坐标为4,该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式;⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;
⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
基础练习 1.不论x为何值,二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负的条件( )。
A.a>0,b2-4ac<0 B .a>0,b2-4ac>0 C. a<0,b2-4ac<0 D. a<0,b2-4ac>0
2.已知关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根为x1=1,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为( )。 3.已知二次函数y=-x2+(3-k)x+2k-1的图像与y轴的交点位于(0,1)的上方,则k的取值范围( )。
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4.对于每个非零自然数n,抛物线y?x2?2n?1n(n?1)x?1n(n?1)与x轴交于
An、Bn两点,以
A1B1?A2B2?表示这两点间的距离,则
?A2009B2009的值是( )。
AnBn200920092010A.2009
2008B.2008 C.2010 D.2009
5.设函数y=x2﹣(k+1)x﹣4(k+5)的图象如图所示,它与x轴
交于A、B两点,且线段OA与OB的长的比为1:4,则k= _________ .
6.(2010包头)已知二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴交于点
0),且1?x1?2,与y轴的正半轴的交点在(0,(?2,0)、(x1,2)的下
方.下列结论:①4a?2b?c?0;②a?b?0;③2a?c?0;④2a?b?1?0.其中正确结论的个数是 个.
7. (2010自贡)y=x2+(1-a)x+1是关于x的二次函数,当x的取值范围是
1≤x≤3时,y在x=1时取得最大值,则实数a的取值范围是( )。
A.a=5 B.a≥5
C.a=3
D.a≥3
8. (2008武汉)下列命题:①若a?b?c?0,则b2?4ac?0; ②若b?a?c,则一元二次方程ax2?bx?c?0有两个不相等的实数根; ③若b?2a?3c,则一元二次方程ax2?bx?c?0有两个不相等的实数根;
④若b2?4ac?0,则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.
其中正确的是( ).
A.只有①②③B.只有①③④C.只有①④D.只有②
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能力提升 1、(2011?大庆)二次函数:y=ax2﹣bx+b(a>0,b>o)图象顶
??点的纵坐标不大于﹣.
2(1)求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围;
(2)若该二次函数图象与x轴交于A,B两点,求线段AB长度的最小值.
2(、2011?广东)已知抛物线??=
(1)求c的取值范围;
(2)试确定直线y=cx+1经过的象限,并说明理由. 3、(2011?荆州)如图,等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上,顶点C在y轴正半轴上,B(4,2),一次函数y=kx﹣1的图象平分它的面积,关于x的函数y=mx2﹣(3m+k)x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点,求m的值.
12??2+??+??与x轴没有交点.
4、(2011?南京)已知函数y=mx2﹣6x+1(m是常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点;
(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值. 5、(2011?新疆)已知抛物线y=﹣x2+4x﹣3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),顶点为P. (1)求A、B、P三点的坐标;
(2)在直角坐标系中,用列表描点法作出抛物线的图象,并根据图象写出x取何值时,函数值大于零;
(3)将此抛物线的图象向下平移一个单位,请写出平称后图象的函数表达式. x 【最新整理,下载后即可编辑】
y
6、(2010?镇江)已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点.
(1)求C1的顶点坐标;
(2)将C1向下平移若干个单位后,得抛物线C2,如果C2与x轴的一个交点为A(﹣3,0),求C2的函数关系式,并求C2与x轴的另一个交点坐标; (3)若P(n,y1),Q(2,y2)是C1上的两点,且y1>y2,求实数n的取值范围. 7、(2010?咸宁)已知二次函数y=x2+bx﹣c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m,0),(﹣3m,0)(m≠0). (1)证明4c=3b2;
(2)若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值. 8、(2010?十堰)已知关于x的方程mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2=0. (1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根;
(2)若关于x的二次函数y=mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时,求抛物线的解析式;
(3)在直角坐标系xoy中,画出(2)中的函数图象,结合图象回答问题:当直线y=x+b与(2)中的函数图象只有两个交点时,求b的取值范围. 9、(2010?汕头)已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),与y轴的交点坐标为(0,3).
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