概率论和数理统计公式集锦

概率论与数理统计公式集锦

一、随机事件与概率

公式名称 德摩根公式 古典概型 几何概型 求逆公式 加法公式 减法公式 条件概率公式 与乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 （逆概率公式） 两个事件 相互独立 公式表达式 A?B?A?B，A?B?A?B P(A)?P(A)?mA包含的基本事件数? n基本事件总数?(A)，其中μ为几何度量（长度、面积、体积） ?(?)P(A)?1?P(A) P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)＝0时，P(A∪B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB)，B?A时P(A-B)=P(A)-P(B) P(BA)?P(AB) P(A)P(ABC)?P(A)P(BA)P(CAB) P(A)??P(Bi)P(ABi) i?1nP(BiA)??P(B)P(AB)iii?1nP(Bi)P(ABi) P(AB)?P(A)P(B)；P(BA)?P(B)；P(BA)?P(BA)； 二、随机变量及其分布

1、分布函数

??P(X?xk)?x?xF(x)?P(X?x)??k,P(a?X?b)?F(b)?F(a)x?f(t)dt ????2、离散型随机变量及其分布 分布名称 0–1分布 Xb(1,p) 分布律 P(X?k)?pk(1?p)1?k,k?0,1 kkP(X?k)?Cnp(1?p)n?k,k?0,1,?,n 二项分布 Xb(n,p) 泊松分布 XP(?) P(X?k)??kk!e??,k?0,1,2, 3、续型随机变量及其分布 分布名称 密度函数 分布函数 均匀分布 XU(a,b) ?1,a?x?b? f(x)??b?a?0,其他?x?a?0,?x?a ?F(x)??,a?x?b?b?ax?b??1, 分布名称 指数分布 Xe(?) 正态分布XN(?,?2) 密度函数 ??x???e,f(x)????0,分布函数 x?0x?0?2?2 ??1?e??x,F(x)????0, x?0 x?0f(x)?1(x??)22?????x???eF(x)??2?? 1x??e?(t??)22?2dt标准正态分布 ?(x)?12?e?x22XN(0,1) ???x???1?(x)?2??x??e1?t22dt 4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型：P(Y?yi)?g(xj)?yi?pj,i?1,2,，

连续型：①分布函数法，②公式法fY(y)?fX(h(y))?h?(y)(x?h(y)单调)

三、多维随机变量及其分布

1、离散型二维随机变量及其分布 分布律：P(X?xi,Y?yj)?pij,i,j?1,2,分布函数F(X,Y)?xi?xyi?y??pij

边缘分布律：p?P(X?x)??p p?P(Y?y)?p

?iji?iij?jjji条件分布律：P(X?xiY?yj)?pijp?j,i?1,2,，P(Y?yjX?xi)?pijpi?,j?1,2,

2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 分布函数：F(x,y)???xy????f(u,v)dudv

?2F(x,y)性质：F(??,??)?1,?f(x,y),P((x,y)?G)??x?y??f(x,y)dxdy

G②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：FX(x)? FY(y)?????yx????????f(u,v)dvdu 密度函数：fX(x)?f(u,v)dudv fY(y)???????f(x,v)dv f(u,y)du

????????③条件概率密度

f(x,y)f(x,y)fYX(yx)?,???y???，fXY(xy)?,???x???

fX(x)fY(y)3、随机变量的独立性

随机变量X、Y相互独立?F(x,y)?FX(x)FY(y)， 离散型：pij?pi.p.j ，连续型：f(x,y)?fX(x)fY(y) 4、二维随机变量和函数的分布 离散型：P(Z?zk)?xi?yj?zk?P(X?xi,Y?yj)

连续型：fZ(z)??????f(x,z?x)dx??????f(z?y,y)dy

四、随机变量的数字特征

1、数学期望

①定义：离散型E(X)?

②性质：E(C)?C,E[E(X)]?E(X)，E(CX)?CE(X)，E(X?Y)?E(X)?E(Y) E(aX?b)?aE(X)?b ，当X、Y相互独立时：E(XY)?E(X)E(Y)

?k?1??xkpk，连续型E(X)??????xf(x)dx

2、方差

①定义：D(X)?E[(X?E(X))2]?E(X2)?E2(X)

②性质：D(C)?0，D(aX?b)?a2D(X)，D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y) 当X、Y相互独立时：D(X?Y)?D(X)?D(Y) 3、协方差与相关系数

①协方差：Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)，当X、Y相互独立时：Cov(X,Y)?0 ②相关系数： ??XYCov(X,Y)，当X、Y相互独立时：??0(X,Y不相关)

XYD(X)D(Y)③协方差和相关系数的性质：Cov(X,X)?D(X)，Cov(X,Y)?Cov(Y,X) Cov(X1?X2,Y)?Cov(X1,Y)?Cov(X2,Y)，Cov(aX?c,bY?d)?abCov(X,Y)

4、常见随机变量分布的数学期望和方差 分布 0-1分布b(1,p) 二项分布b(n,p) 泊松分布P(?) 均匀分布U(a,b) 正态分布N(?,?2) 指数分布e(?) 数学期望 方差 p np p(1-p) np(1-p) ? ? a?b 2 ?(b?a)2 12?21 1 ??2 五、大数定律与中心极限定理

1、切比雪夫不等式

若E(X)??,D(X)??2,对于任意??0有P{X?E(X)??}?D(X)2?2、大数定律： ①切比雪夫大数定律：若X1?Xn相互独立，

E(Xi)??i,D(Xi)??i2

且?i21?C，则：

n?i?1n1Xi???nP?E(X),(n??)

ii?1n②伯努利大数定律：设nA是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则???0，有：limP?n??③辛钦大数定律：若X1,3、中心极限定理

?nA??p????1 ?n?,Xn独立同分布，且E(Xi)??，则1n?Xi?1niP???? n??①列维—林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量Xi(i?1,2,)，均值为?，方差为?2?0，当n充分大时有：Yn?(?Xk?n?)k?1n~?N(0,1) n???2②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：随机变量X~B(n,p)，则对任意x有：

xX?np1?t2limP{?x}??edt??(x)

??n??np(1?p)2?③近似计算：P(a??Xk?b)??(k?1nb?n?a?n?)??() n?n?

六、数理统计的基本概念

1、总体和样本的分布函数 设总体X2、统计量 1样本均值：X?nF(x)，则样本的联合分布函数F(x1,x2?xn)??F(xk)

k?1nnn?i?1n211(Xi?X)2?(Xi2?nX) Xi，样本方差：S?n?1i?1n?1i?12??11(Xi?X)2 ，样本k阶原点距：Ak?样本标准差：S?n?1i?1n?n?Xi?1nki,k?1,2?

样本k阶中心距：Bk?1?(Xi?X)k,k?1,2,3ni?13、三大抽样分布 (1)?2分布：设随机变量Xin

N(0,1)(i?1,2,22??Xn服从自,n)且相互独立，则称统计量?2?X12?X2由度为n的?2分布，记为?2~?2(n)

性质：①E[?2(n)]?n,D[?2(n)]?2n②设X~?2(m),Y~?2(n)且相互独立，则X?Y~?2(m?n) (2)t分布：设随机变量X~N(0,1),Y~?2(n)，且X与Y独立，则称统计量：T?分布，记为T~t(n)

n1?x2性质：①E(T)?0(n?1),D(T)?(n?2)②limfn(x)??(x)?e

n??n?22?2XYn服从自由度为n的t(3)F分布：设随机变量X~?2(m),Y~?2(n)，且X与Y独立，则称统计量F(m,n)?Xm服从第一自由度Yn为m，第二自由度为n的F分布，记为F~F(m,n)，性质：设F~F(m,n)，则1~F(n,m)

F七、参数估计

1.参数估计 ①定义：用?(X1,X2,?,Xn)估计总体参数?，称?(X1,X2,?,Xn)为?的估计量，相应的?(x1,x2,?,xn)为总体?的估计值。

②当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值 2.点估计中的矩估计法：

基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩

求法步骤：设总体X的分布中包含有未知参数?1,?2,

i矩?i?E(X)(i?1,2,,?k，它的前k阶原点

,k)中包含了未知参数?1,?2,,?k，

,xn为总体X的n个样本值，用样本矩代替?i，在,?k的矩估计量?1,?2,??即?i?gi(?1,?2,,?k)(i?1,2,,k)；又设x1,x2,所建立的方程组中解出的k个未知参数即为参数?1,?2,注意：分布中有几个未知参数，就求到几阶矩。 3.点估计中的极大似然估计 设X1,X2,,?k。

?Xn取自X的样本，设X~f(x,?)或X~P(x,?)， 求法步骤：

①似然函数：L(?)??f(x,?)(连续型)或L(?)??P(x,?)(离散型)

iiii?1ni?1nn②取对数：lnL(?)??lnf(x,?) 或lnL(?)??lnp(x,?)

iiii?1i?1n③解方程：

?lnL?0,??1????1??1(x1,x2,,xn)??lnL?,?0，解得：? ??k??????k??k(x1,x2,,xn),xn)为未知参数?的估计量。若E(?）=?，??4.估计量的评价标准 估计量的评价标准 一致性 有效性 无偏性 设???(x1,x2,????则称 ?为?的无偏估计量。 设?1??1(x1,x2,??,xn)和?2??2(x1,x2,??,xn)是未知参数?? ?的两个无偏估计量。若D(?1)?D(?2)，则称?1比?2有效。设?n是?的一串估计量，如???0，有limP(|?n??|??)?0n??则称?n为?的一致估计量（或相合估计量）。 ???5. 单正态总体参数的置信区间 条件 估计 参数 枢轴量 枢轴量 分布 置信水平为1??的置信区间