上坡速度是平路速度的
811倍．
3【例 43】 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达．但汽车行驶到路程的时，出了
5故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？
【分析】 当以原速行驶到全程的时，总时间也用了，所以还剩下50?(1?)?20分钟的路程；修理完毕时
555333还剩下20?5?15分钟，在剩下的这段路程上，预计时间与实际时间之比为20:15?4:3，根据路程
一定，速度比等于时间的反比，实际的速度与预定的速度之比也为4:3，因此每分钟应比原来快
750?43?750?250米．
小结：本题也可先求出相应的路程和时间，再采用公式求出相应的速度，最后计算比原来快多少，但不如采用比例法简便．
【例 44】 (2008“我爱数学夏令营”数学竞赛)一列火车出发1小时后因故停车0.5小时，然后以原速的
34前
进，最终到达目的地晚1.5小时．若出发1小时后又前进90公里因故停车0.5小时，然后同样以原速的
34前进，则到达目的地仅晚1小时，那么整个路程为________公里．
34【解析】 如果火车出发1小时后不停车，然后以原速的前进，最终到达目的地晚1.5?0.5?1小时，在一小时
以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3:4，所以原计划要花1??4?3??3?3小时，现在要花1??4?3??4?4小时，若出发1小时后又前进90公里不停车，然后同样以原速的前
43进，则到达目的地仅晚1?0.5?0.5小时，在一小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花
的时间之比为3:4，所以原计划要花0.5??4?3??3?1.5小时，现在要花0.5??4?3??4?2小时．所以按照原计划90公里的路程火车要用3?1.5?1.5小时，所以火车的原速度为90?1.5?60千米／小时，整个路程为60??3?1??240千米．
【例 45】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小时
到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，于是提前1 小时 40 分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？
【解析】 从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，即车速为原计划的10/9，则所用时间为原计划的
1÷10/9=9/10，即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10，原计划时间为：1.5÷1/10=15(小时)；按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，即此后车速为原来的7/6，
则此后所用时间为原计划的1÷7/6=6/7，即此后比原计划少用1/7的时间，所以1 小时 40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的1/7，则按原计划的速度行驶 280 千米后余下的时间为： 5/3÷1/7=35/3(小时)，所以，原计划的速度为：84(千米/时)，北京、上海两市间的路程为：84 ×15= 1260(千米)．
【例 46】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距离后，
再将速度提高 30% ，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？ 【解析】 车速提高 20%，即为原速度的6/5，那么所用时间为原来的5/6，所以原定时间为1?(1?56)?6小时；
如果按原速行驶一段距离后再提速 30% ，此时速度为原速度的13/10，所用时间为原来的10/13，所以按原速度后面这段路程需要的时间为1?(1?6?413?531013)?413小时．所以前面按原速度行使的时间为
5518小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的?6?3
【例 47】 一辆车从甲地开往乙地．如果车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速行驶
120千米后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达．那么甲、乙两地相距多少千米？
【分析】 车速提高20%，速度比为5:6，路程一定的情况下，时间比应为6:5，所以以原速度行完全程的时
间为1?6?56?6小时．
以原速行驶120千米后，以后一段路程为考察对象，车速提高25%，速度比为4:5，所用时间比应为5:4，提前40分钟到达，则用原速度行驶完这一段路程需要驶120千米所用的时间为6?103?834060?5?4583?103小时，所以以原速行
小时，甲、乙两地的距离为120??6?270千米．
【例 48】 甲火车4分钟行进的路程等于乙火车5分钟行进的路程．乙火车上午8:00从B站开往A站，开出若干分钟后，甲火车从A站出发开往B站．上午9:00两列火车相遇，相遇的地点离A、B两站的
距离的比是15:16．甲火车从A站发车的时间是几点几分？
［分析］甲、乙火车的速度比已知，所以甲、乙火车相同时间内的行程比也已知．由此可以求得甲火车单独
行驶的距离与总路程的比．
根据题意可知，甲、乙两车的速度比为5:4．
从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5:4?15:12，而相遇点距A、B两站的距离的比
是15:16．说明甲火车出发前乙火车所走的路程等于乙火车1个小时所走路程的?16?12??16?14．也
就是说乙比甲先走了一个小时的四分之一，也就是15分钟．所以甲火车从A站发车的时间是8点15分．
模块三、比例综合题
【例 49】 小狗和小猴参加的100米预赛．结果，当小狗跑到终点时，小猴才跑到90米处，决赛时，自作聪
明的小猴突然提出：小狗天生跑得快，我们站在同一起跑线上不公平，我提议把小狗的起跑线往后挪10米．小狗同意了，小猴乐滋滋的想：“这样我和小狗就同时到达终点了！”亲爱的小朋友，你说小猴会如愿以偿吗？
【解析】 小猴不会如愿以偿．第一次，小狗跑了100米，小猴跑了90米，所以它们的速度比为100:90?10:9；
那么把小狗的起跑线往后挪10米后，小狗要跑110米，当小狗跑到终点时，小猴跑了110?离终点还差1米，所以它还是比小狗晚到达终点．
【例 50】 甲、乙两人同时从 A地出发到 B 地，经过 3 小时，甲先到 B 地，乙还需要 1 小时到达 B 地，此时甲、乙共行了 35 千米．求 A， B 两地间的距离． 【解析】 甲、乙两个人同时从A地到B地，所经过的路程是固定
所需要的时间为：甲3个小时，乙4个小时（3+1）
两个人速度比为：甲：乙=4：3
当两个人在相同时间内共行35千米时，相当与甲走4份，已走3份， 所以甲走：35÷（4＋3）×4=20（千米），所以，A、B两地间距离为20千米
【例 51】 A、B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市．开车后1小时A车出了事故，B和C车照
常前进．A车停了半小时后以原速度的
45910?99米，
继续前进．B、C两车行至距离甲市200千米时B车出
45了事故，C车照常前进．B车停了半小时后也以原速度的继续前进．结果到达乙市的时间C车
比B车早1小时，B车比A车早1小时，甲、乙两市的距离为 千米．
【分析】如果A车没有停半小时，它将比C车晚到1.5小时，因为A车后来的速度是C车的
45，即两车行5 小
时的路A车比C车慢1小时，所以慢1.5小时说明A车后来行了5?1.5?7.5小时．从甲市到乙市车要
行1?7.5?1.5?7小时．
同理，如果B车没有停半小时，它将比C车晚到0.5小时，说明B车后来行了5?0.5?2.5小时，这段路C车需行2.5?0.5?2小时，也就是说这段路是甲、乙两市距离的故甲、乙两市距离为200??1???2???2807?27．
(千米)．
【例 52】 甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后1小时，乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分钟前曾到过的地方．此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲．甲每小时行多少
米？
［分析］根据题意，乙加速之前步行2小时的路程等于甲步行2.25小时的路程，所以甲、乙的速度之比为
2:2.25?8:9，乙的速度是甲的速度的1.125倍；
乙加速之后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程，所以加速后甲、乙的速度比为3:3.75?4:5．加速后乙的速度是甲的速度的1.25倍；
由于乙加速后每小时多走500米，所以甲的速度为500??1.25?1.125??4000米/小时．
【例 53】 甲、乙两人分别骑车从A地同时同向出发，甲骑自行车，乙骑三轮车．12 分钟后丙也骑车从A地
出发去追甲．丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉头行了3千米时又遇到乙．已知乙的速度是
每小时7.5千米，丙的速度是乙的2倍．那么甲的速度是多少？ 丙甲B3乙ADE3C
［分析］ 丙的速度为7.5?2?15千米/小时，丙比甲、乙晚出发12分钟，相当于退后了15?1260?3千米后与甲、
乙同时出发．
如图所示，相当于甲、乙从A，丙从B同时出发，丙在C处追上甲，此时乙走到D处，然后丙掉头走了3千米在E处和乙相遇．
从丙返回到遇见乙，丙走了3千米，所以乙走了3?2?1.5千米，故CD为4.5千米．那么，在从出发到丙追上甲这段时间内，丙一共比乙多走了3?4.5?7.5千米，由于丙的速度是乙的速度的2倍，因此，丙追上甲时，乙走了7.5千米，丙走了15千米，恰好用1个小时；而此时甲走了7.5?4.5?12千米，因此速度为12?1?12(千米/小时)．
【例 54】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到
达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？
【解析】 甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲恰好到半山腰，
说明甲走过的路程应该是一个单程的 1×1.5+1/2=2 倍， 就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。
两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了 1 小时，所以甲下山要用1/2 小时。 甲一共走了 1+1/2=1.5（小时）
【例 55】 一条东西向的铁路桥上有一条小狗，站在桥中心以西5米处．一列火车以每小时84千米的速度从
西边开过来，车头距西桥头三个桥长的距离．若小狗向西迎着火车跑，恰好能在火车距西桥头3米
时逃离铁路桥；若小狗以同样的速度向东跑，小狗会在距东桥头0.5米处被火车追上．问铁路桥长多少米，小狗的速度为每小时多少千米？
【分析】设铁路桥长为x米．
在小狗向西跑的情况下：小狗跑的路程为(?5)米，火车走的路程为(3x?3)米；
在小狗向东跑的情况下：小狗跑的路程为(?5?0.5)?(?4.5)米，火车走的路程为(4x?0.5)米；
222xxx两种情况合起来看，在相同的时间内，小狗一共跑了(?5)?(?4.5)?(x?0.5)米，火车一共走了
22xx(3x?3)?(4x?0.5)?(7x?3.5)米；
因为(7x?3.5)是(x?0.5)的7倍，所以火车速度是小狗速度的7倍，所以小狗的速度为84?7?12(千米/时)；
因为火车速度为小狗速度的7倍，所以(3x?3)?7?(?5)，解此方程得：x?64．
2x所以铁路桥全长为64米，小狗的速度为每小时12千米．
【例 56】 如图，8点10分，有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A、B两地顺时针方向沿长方形
的边走向D点，甲8点20分到D后，丙、丁两人立即以相同速度从D点出发，丙由D向A走去，丁由D向C走去，则连接三角形BEF8点24分与乙在E点相遇，8点30分在F点被乙追上，
ABCD的面积为 平方米．
ADA甲E丙DBC73乙BFC
【分析】如图，由题意知，丙从D到E用4分钟，丁从D到F用10分钟，乙从E经D到F用6分钟，说明
甲、乙速度是丙、丁速度的?4?10??6?10?73?703倍．因为甲走AD用10分钟，所以丙走AD要用
(分钟)，走AE用
703?4?583(分钟)．
73?583?403 因为乙走?BA?AE?用14分钟，所以丙走AB用14? 因为AB长60米，所以丙每分钟走60? AE? S?BE(分钟)．
403?92(米)．于是求出
92?58?873BC(米)，ED??SD?BA92?4?18(米)，BC?AE?ED?87?18?105(米)．
6?0?87?2?18?4?5?SF矩形A?ES??S?60?10?5ED?F ?? ?6300?2610?405?787.5?2497.5(平方米)．
【例 57】 如图，长方形的长AD与宽AB的比为5:3，E、F为AB边上的三等分点，某时刻，甲从A点出
发沿长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从E、F出发沿长方形顺时针运动．甲、乙、丙三人的速度比为4:3:5．他们出发后12分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大
的三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？
AEDFBC
［分析］长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半，这样的三角形一定有一条边与长方形的某条边重合，
并且另一个点恰好在该长方形边的对边上．
所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况．
将长方形的宽3等分，长5等分后，将长方形的周长分割成16段，设甲走4段所用的时间为1个单位时间，那么一个单位时间内，乙、丙分别走3段、5段，由于4、3、5两两互质，所以在非整数单位时间的时候，甲、乙、丙三人最多也只能有1个人走了整数段．所以我们只要考虑在整数单位时间，三个人运到到顶点的情况．
对于甲的运动进行讨论： 时间(单位时间) 2 …… 6 8 10 16 4 12 14 地点 C C C C C A A A 对于乙的运动进行讨论： 3 10 18 19 26 27 时间(单位时间) 2 …… 11 C C 地点 B A B A D D 对于丙的运动进行讨论： 10 18 19 3 26 27 时间(单位时间) 2 …… 11 C C 地点 B A B A D D 需要检验的时间点有2、3、10、11、…… 2个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件．
3个单位时间的时候甲在AD上，三人第一次构成最大三角形．所以一个单位时间相当于4分钟． 10个单位时间的时候甲、乙、丙分别在C、B、A的位置第二次构成最大三角形． 所以再过40分钟．三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？
课后作业
练习1. 甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，在 A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度
的
37，并且甲、乙两车第 2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第 2008 次相遇的地点
恰好相距 120 千米，那么，A、B 两地之间的距离等于多少 千米？
【解析】 甲、乙速度之比是 3：7，所以我们可以设整个路程为 3+7=10 份，这样一个全程中甲走 3 份，第 2007
次相遇时甲总共走了 3×（2007×2-1）=12039 份，第 2008 次相遇时甲总共走了 3×（2008×2-1）=12045
份，所以总长为 120÷［12045-12040-（12040-12039）]×10=300 米.
练习2. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是3:2，他们第一次相
遇后甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地的距离是多少千米？
【分析】因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为3:2，相
遇后，甲、乙两人的速度比为??3??1?20%???:??2??1?30%????3.6:2.6?18:13；到达B地时，即甲又
行了2份的路程，这时乙行的路程和甲行的路程比是18:13，即乙的路程为2?451318?149．乙从相遇后
到达A还要行3份的路程，还剩下3?1?1(份)，正好还剩下14千米，所以1份这样的路程是
9914?1A59?9(千米)．
、B两地有这样的3?2?5(份)，因此A、B两地的总路程为：9??3?2??45(千米)．
练习3. 小明和小刚进行100米短跑比赛(假定二人的速度均保持不变)．当小刚跑了90米时，小明距离终点
还有25米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？
【分析】当小刚跑了90米时，小明跑了100?25?75米，在相同时间里，两人的速度之比等于相应的路程之
比，为90:75?6:5；在小刚跑完剩下的100?90?10米时，两人经过的时间相同，所以两人的路程
之比等于相应的速度之比6:5，则可知小明这段时间内跑了10?米．
练习4. 客车和货车同时从甲、乙两地的中点向反向行驶，3小时后客车到达甲地，货车离乙地还有22千米，
已知货车与客车的速度比为5:6，甲、乙两地相距多少千米？ 【分析】 货车与客车速度比5:6，相同时间内所行路程的比也为5:6，那么客车走的路程为22?米)，为全程的一半，所以全程是132?2?264(千米)．
练习5. 甲、乙两人从A，B两地同时出发，相向而行．甲走到全程的
4.556?253米，还剩下25?253?503?16236?56?132(千
511的地方与乙相遇．已知甲每小时走
千米，乙每小时走全程的．求A，B之间的路程．
31【分析】 相同的时间内，甲、乙路程之比为5:?11?5??5:6，因此甲、乙的速度比也为5:6，所以乙的速度
为4.5?
65?5.4千米/时．两地之间的路程为：5.4?1?13?16.2千米．
小学奥数行程问题经典整理
