高考总复习
第4节 万有引力与航天
一、开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 2．开普勒第二定律
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 3．开普勒第三定律
a3
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：2T＝k。
二、万有引力定律 1．内容
(1)自然界中任何两个物体都相互吸引。 (2)引力的方向在它们的连线上。
(3)引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。 2．表达式
m1m2F＝G2，其中G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定。
r3．适用条件
(1)两个质点之间的相互作用。
(2)对质量分布均匀的球体，r为两球心间的距离。 三、宇宙速度 1．三种宇宙速度比较 宇宙速度 第一宇宙速度 第二宇宙速度 数值(km/s) 7.9 11.2 意义 地球卫星最小发射速度(环绕速度) 物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度(脱离速度) 物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度(逃逸速度) 第三宇宙速度 16.7 2.第一宇宙速度的计算方法
1
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Mmv2
(1)由G2＝m得v＝RRGM。 Rv2
(2)由mg＝m得v＝gR。
R
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。 (2)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。
(×) (×) (√)
a3
(3)开普勒第三定律2＝k中k值与中心天体质量无关。
T(4)第一宇宙速度与地球的质量有关。 (√) (5)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。
(×)
2．(教科版必修2P44T2改编)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 C [太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，
r3r3T2r3火木火火
D错误；由开普勒第三定律得2＝2，故2＝3，C正确。]
T火T木T木r木
3．(人教版必修2P43T2改编)若地球表面处的重力加速度为g，而物体在距地面3R(R为地球半径)处，由于地球作用而产生的加速度为g′，则
A．1 1
C. 4[答案] D
4．(人教版必修2P48T3改编)若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，这颗行星的“第一宇宙速度”约为( )
A．2 km/s C．16 km/s [答案] C
2
g′
为( ) g1B． 91D． 16
B．4 km/s D．32 km/s
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开普勒定律的应用 [依题组训练]
1．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
B [开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A错误，选项B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误。]
2．(多选)(2019·抚州七校联考)2018年7月是精彩天象集中上演的月份，“水星东大距”“火星冲日”“月全食”等天象先后扮靓夜空，可谓精彩纷呈。发生于北京时间7月28日凌晨的“月全食”，相对于2018年1月31日发生的“月全食”来说，7月的全食阶段持续时间更长。已知月球绕地球的运动轨道可看成椭圆，地球始终在该椭圆轨道的一个焦点上，则相对于1月的月球而言，7月的月球( )
A．绕地球运动的线速度更大 B．距离地球更近
C．绕地球运动的线速度更小 D．距离地球更远
CD [地球绕着太阳公转，月球又绕着地球公转，发生月食的条件是地球处于月球和太阳中间，挡住了太阳光，月全食持续的时间长短和太阳、地球、月球三者的位置关系密切相关，7月这次月全食的时间比较长是由于月球和地球的距离比较远。根据开普勒第二定律可知此时月球绕地球运动的线速度更小，故A、B错误，C、D正确。]
3．(2019·江苏高考)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为
v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则( )
A．v1>v2，v1＝
GM rB．v1>v2，v1>
GM r3
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C．v1 GM rD．v1 GM rB [“东方红一号”从近地点到远地点万有引力做负功，动能减小，所以v1>v2，过近地点圆周运动的速度为v＝B正确。] 应用开普勒行星运动定律的三点注意 (1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 (2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 GM，由于“东方红一号”在椭圆上运动，所以v1>rGM，故ra3 (3)开普勒第三定律2＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。 T 万有引力定律的理解及应用 [讲典例示法] 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G2＝mg1＋mωR。 (2)在两极上：G2＝mg2。 2．星体表面上的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)： MmRMmR2 MmGMmg＝G2，得g＝2。 RR(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝ GMm2，得g′＝?R＋h? GM2。 ?R＋h? 3．估算天体质量和密度的两种方法 4 高考总复习 (1)“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 MmgR2 ①由G2＝mg，得天体质量M＝。 RG②天体密度ρ＝＝ MM3g＝。 V434πGRπR3 (2)“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 23 Mm4π24πr①由G2＝m2r，得M＝。 rTGT2 ②若已知天体的半径R，则天体的密度 3MM3πrρ＝＝＝。 V43GT2R3 πR3 [典例示法] (多选)(2019·湖南地质中学三模)若宇航员在月球表面附近高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是( ) 2hv0 A．月球表面的重力加速度g月＝2 L3hv0 B．月球的平均密度ρ＝2 2πGLRC．月球的第一宇宙速度v＝ 2 v0 2hR LhR2v20 D．月球的质量m月＝2 GL关键信息：“水平抛出一个小球，测出水平射程”，可获得月球表面的重力加速度。 [解析] 设月球表面的重力加速度为g月，小球在月球表面做平抛运动，根据平抛知识12hv02 可知在水平方向上L＝v0t，在竖直方向上h＝g月t，解得g月＝2，故A错误；在月球表 2L2hRv0 222 GL2Gm月m2hRv0m月3hv0 面2＝mg月，解得m月＝，则月球密度为ρ＝＝＝2，故B正确，D RGL24342πGLR3 πRπR22 2 33 错误；月球的第一宇宙速度v＝g月R＝ [答案] BC v0 2hR，故C正确。 L 估算天体质量和密度的“四点”注意 (1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的 5
2021版高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天第4节万有引力与航天教案
