2019-2020学年河北省唐山一中高三(上)月考数学试卷(文科)
(一)
一.选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1. 设全集??=??,??={??|??2>4},??={??|???1≥1},如图所示:则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{??|??<2} B.{??|?2?<1} C.{??|?2≤??≤2} D.{??|1?≤2} 【答案】 D
【考点】
Venn图表达集合的关系及运算 【解析】
先化简集合??和集合??,然后根据图中阴影部分所表示的集合为属于集合??但不属于集合??,解之即可. 【解答】
??={??|??2>4}={??|??>2或??2} ??={??|???1≥1}={??|1?≤3}
图中阴影部分所表示的集合为属于集合??但不属于集合?? 则图中阴影部分所表示的集合为{??|1?≤2}
2. ??为虚数单位,则()2016=( )
1???A.??
【答案】 C
【考点】 复数的运算 【解析】
B.???
C.1
D.?1
1+??
2
2
直接由复数代数形式的乘除运算化简复数1???,则答案可求. 【解答】
1+??
(1+??)2
2??2
1+??
=(1???)(1+??)=1???
1+??
=??,
则(1???)2016=??2016=(??4)504=1.
3. 函数??=ln??的图象大致为( )
试卷第1页,总18页
2??
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【考点】
函数的图象与图象的变换 【解析】
根据函数的定义域,特殊点的函数值符号,以及函数的单调性和极值进行判断即可. 【解答】
由ln??≠0得,??>0且??≠1,
当0?<1时,ln??<0,此时??<0,排除??,??, 函数的导数??′(??)=
21?????2???(ln??)2
1??=
21?????2(ln??)2
,
由??′(??)>0得ln??>1,即??>??此时函数单调递增,
由??′(??)<0得ln??<1且??≠1,即0?<1或1??,此时函数单调递减,
4. 将函数??=√3cos??+sin??(??∈??)的图象向左平移??(??>0)个长度单位后,所得到的图象关于原点对称,则??的最小值是( ) A.12 ??
B.6 ??
C.3 ??
D.3
2??
【答案】 D
【考点】
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 【解析】
利用两角和的正弦化简原函数,然后利用三角函数的图象平移得到平移后图象的函数
试卷第2页,总18页
解析式,由图象关于原点对称列式求得??的最小值. 【解答】
设??=??(??)=√3cos??+sin??(??∈??),
化简得??(??)=2(√cos??+sin??)=2sin(??+3),
22
∴ 图象向左平移??(??>0)个单位长度得到??=2sin[(??+??)+3]=2sin(??+??+3), ∵ 所得的图象关于原点对称, ∴ ??+3=????(??∈??), 则??的最小正值为3.
→
5. 已知向量??与??的夹角为60°,|??|=2,|??|=5,则2?????在??方向上的投影为( )
→
→
→
→
→
→
2??
??
??
??
31
??
A.2
3
B.2
C. 2
5
D.3
【答案】 A
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算 【解析】
根据平面向量数量积的定义与投影的定义,进行计算即可. 【解答】
∵ 向量??与??的夹角为60°,且|??|=2,|??|=5,
→→→→
∴ (2?????)???=2??2??????=2×22?5×2×cos60°=3,
→
→
→
→
→
→
∴ 向量2?????在??方向上的投影为
→
→
→
→
???(2?????)
|??|
→→→
=2.
3
26. 已知等比数列{????}的前??项和为????=3??+??,则数列{????}的前??项和为( )
??????9?19?19?1D.9???1 A. B. C.
2
4
8
【答案】 A
【考点】
等比数列的前n项和 【解析】
等比数列{????}的前??项和为????=3??+??,所以??1=3+??,??2=(9+??)?(3+??)=6,??3=(27+??)?(9+??)=18,所以??22=??1×??3得??的值,因为数列{????}为等比数列,故
22
数列{????}为以??12为首项,以??2为公比的等比数列,求出数列{????}的的首项和公比,求出其前??项和. 【解答】
依题意,等比数列{????}的前??项和为????=3??+??,
所以??1=3+??,??2=(9+??)?(3+??)=6,??3=(27+??)?(9+??)=18, 所以??22=??1×??3得??=?1, 所以??1=2,??=3,
2
所以数列{????}的首项为4,公比为9,
试卷第3页,总18页
2
所以数列{????}的前??项和????
=
4(1?9??)1?9
=
9???12
.
7. 在△??????中内角??,??,??所对的边分别为??,??,??,tan??=
√2????,??
??2+??2???2
=√2,??为
△??????的面积,则??+√2cos??cos??的最大值为( ) A.4 D.2 C.√3 B.√2 【答案】 B
【考点】 正弦定理 余弦定理 【解析】
先利用余弦定理求得sin??,进而通过正弦定理表示出??,代入面积公式求得??+√2cos??cos??的表达式,利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值. 【解答】 ∵ tan??=∴ tan??=
√2??????2+??2???2√2??????2+??2???2, =?
√2, 2sin??
∴ sin??=√2,
2
由正弦定理 ??=???sin??, ∴ ??=2????sin??=√2sin??sin??
∴ ??+√2cos??cos??=√2sin??sin??+√2cos??cos??=√2cos(?????)≤√2,
8. 定义在??上的偶函数??(??)满足??(??+1)=???(??),当??∈[0,?1]时,??(??)=?2??+1,则函数??(??)=??(??)?sin2??(0≤??≤4)的零点之和为( )
A.3 B.4 C.5 D.8 【答案】 C
【考点】
函数奇偶性的性质与判断 【解析】
定义在??上的偶函数??(??)满足??(??+1)=???(??)则??(??+2)=??(??),所以??(??)以2为周期,结合奇偶性可以绘制函数??(??)的图象,再绘制函数?(??)=sin??在0≤??≤4时的图
象.函数而??(??)在0≤??≤4的零点即为函数??(??)与函数?(??)=sin??在0≤??≤4时的交点横坐标,根据对称性即可得到结论. 【解答】
??(??+1)=???(??)则??(??+2)=??(??),所以??(??)以2为周期,
又当??∈[0,?1]时,??(??)=?2??+1,所以可得函数??(??)在[?1,?1]上的图象,又知??(??)周期为2,故可以绘制??(??)在[0,?4]上的图象,
设?(??)=sin2??,?(??)为周期为4的函数,用5点法画出其在[0,?4]上的图象, 可知函数??(??)和??(??)在[0,?4]上又3个交点,其横坐标分别记为??1,??2,??3,
试卷第4页,总18页
??
??
1
sin??
因为??(??)和?(??)都以??=1为对称轴,所以??1+??2=2,又??3=3, 所以函数??(??)=??(??)?sin2??(0≤??≤4)的零点之和为:2+3=5.
9. 已知奇函数??(??)是定义在??上的可导函数,其导函数为??′(??),当??>0时有2??(??)+????′(??)>??2,则不等式(??+2014)2??(??+2014)+4??(?2)<0的解集为( ) A.(?∞,??2012) B.(?2016,??2012) C.(?∞,??2016) D.(?2016,?0) 【答案】 A
【考点】
利用导数研究函数的单调性 【解析】
构造函数??(??)=??2??(??),根据导数求出函数的单调区间,再由(??+2014)2??(??+2014)+4??(?2)<0转化为??(??+2014)??(?2)=??(2),解得即可. 【解答】
由2??(??)+????′(??)>??2,(??>0); 得:2????(??)+??2??′(??)>??3 即[??2??(??)]′>??3>0; 令??(??)=??2??(??);
则当??>0时,??′(??)>0,即??(??)在(0,?+∞)上是增函数, ∵ ??(??)为奇函数,
∴ ??(??)=??2??(??)为奇函数, ∴ ??(??)在(?∞,?0)上是增函数,
∴ ??(??+2014)=(??+2014)2??(??+2014),??(?2)=4??(?2); 即不等式等价为??(??+2014)+??(?2)<0; 即??(??+2014)??(?2)=??(2), ∴ ??+2014<2,∴ ??2012; ∴ 原不等式的解集是(?∞,??2012).
10. 已知函数??(??)=sin(????+3)(??>0)在(0,?2]上恰有一个最大值1和一个最小值?1,则??的取值范围是( ) A.[12,
5??13??
????
) 12B.(12,
5??13??
] 12C.[12,
7??13??
) 12D.(12,
7??13??
12
]
【答案】
C
【考点】 三角函数的最值 【解析】
在(0,?+∞)上??(??)第一个取得最大值1的????+3的值是2,第二个????+3的值为2,??(??)第一个取得最小值?1的????+3的值是2,故由2≤2??+3<【解答】
依题意可得:2≤2??+3<
3??
??
5??
7??
13??12
??
3??
3??
??
5??2
??
??
??
5??
可解得.
,解得12≤??<2
,
试卷第5页,总18页
2019-2020学年河北省唐山一中高三(上)月考数学试卷(文科)(一)
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