第1讲 数系的扩充与复数的引入
1．已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( ) A．5－5i C．5＋5i
B.7－5i D．7＋5i
2
解析：选C.(2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i＝5＋5i，故选C.
5i
2．设i是虚数单位，若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a等于( )
1－2iA．－1 C．－2
解析：选D.因为a＋数，所以a＝2.故选D.
22
3．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数＋z在复平面内对应的点位于( )
B.1 D．2
5i5i（1＋2i）－10＋5i
＝a＋＝a＋＝a－2＋i是纯虚1－2i（1－2i）（1＋2i）5
zA．第一象限 C．第三象限
B.第二象限 D．第四象限
2222（1－i）22
解析：选A.因为z＝1＋i，所以＋z＝＋(1＋i)＝＋1＋2i＋i
z1＋i（1＋i）（1－i）2（1－i）
＝＋2i＝1＋i，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，
2故选A.
4．(2024·福建基地综合测试)已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，
1＋i则x＋yi的共轭复数为( )
A．1＋2i C．2＋i
B.1－2i D．2－i
xx1
解析：选D.＝(x－xi)＝1－yi，所以
1＋i2
1??2x＝1，
解得x＝2，y＝1，所以x＋yi＝2＋i，其共轭复数为2－i故选D. ?1
??－2x＝－y，
5．(2024·安徽江南十校联考)若复数z满足z(1－i)＝|1－i|＋i，则z的实部为( )
A.
2－1
2
B.2－1
2＋1
2
2＋i（2＋i）（1＋i）2－1
＝＝＋1－i（1－i）（1＋i）2
C．1 D．
解析：选A.由z(1－i)＝|1－i|＋i，得z＝2＋12－1
i，故z的实部为，故选A. 22
6．已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于________．
解析：因为z1＝3＋4i，z2＝t＋i， 所以z1·z2＝(3t－4)＋(4t＋3)i， 又z1·z2是实数，
3所以4t＋3＝0，所以t＝－.
43
答案：－
4
?z＋1?
7．若复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则??·z＝________． z??
解析：因为z＝1＋2i，所以z＝1－2i.
?1?所以?z＋?·z＝z·z＋1＝5＋1＝6.
?
z?
答案：6
8．已知复数z满足解析：由
z＋2
＝i(其中i是虚数单位)，则|z|＝________． z－2
z＋2－2－2i
＝i知，z＋2＝zi－2i，即z＝， z－21－i
|－2－2i|22
所以|z|＝＝＝2.
|1－i|2答案：2
（1＋2i）＋3（1－i）
9．计算：(1)；
2＋i1－i1＋i(2)2＋2； （1＋i）（1－i）1－3i(3). 2
（3＋i）
2
（1＋2i）＋3（1－i）－3＋4i＋3－3i
解：(1)＝
2＋i2＋i＝
ii（2－i）12
＝＝＋i. 2＋i555
2
1－i1＋i1－i1＋i1＋i－1＋i(2)＋＝＋＝－1. 2＋2＝（1＋i）（1－i）2i－2i－221－3i（3＋i）（－i）－i（－i）（3－i）(3)＝＝＝ 22
4（3＋i）（3＋i）3＋i13
＝－－i.
44
10．如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：
→→
(1)AO、BC所表示的复数； →
(2)对角线CA所表示的复数； (3)B点对应的复数．
→→→
解：(1)AO＝－OA，所以AO所表示的复数为－3－2i. →→→
因为BC＝AO，所以BC所表示的复数为－3－2i.
→→→→
(2)CA＝OA－OC，所以CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. →→→→→(3)OB＝OA＋AB＝OA＋OC，
→
所以OB所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 即B点对应的复数为1＋6i.
?2?1．已知?1＋?＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝( ) ?i?
A．－7 C．－4
2
B.7 D．4
2
44?2?解析：选A.因为?1＋?＝1＋＋2＝－3－4i， ii?i?所以－3－4i＝a＋bi，则a＝－3，b＝－4，
所以a＋b＝－7，故选A.
2．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则|(1－z)·z|＝________． 解析：因为z＝－1－i，所以z＝－1＋i， 所以(1－z)·z＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i， 所以|(1－z)·z|＝|－3＋i|＝10. 答案：10
4＋2i3．已知复数z＝2(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，
（1＋i）则实数m＝________．
4＋2i4＋2i（4＋2i）i
解析：z＝＝＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标2＝2
（1＋i）2i2i为(1，－2)，将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5.
答案：－5
?m＋ni?＝________．
4．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m(1＋i)＝1＋ni，则???m－ni?
m＋ni??1＋i??解析：由m(1＋i)＝1＋ni，得m＋mi＝1＋ni，即m＝n＝1，所以??＝??＝?m－ni??1－i?
i＝－1.
答案：－1
5．已知复数z的共轭复数是z，且满足z·z＋2iz＝9＋2i. 求z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi. 因为z·z＋2iz＝9＋2i，
所以(a＋bi)(a－bi)＋2i(a＋bi)＝9＋2i， 即a＋b－2b＋2ai＝9＋2i，
??a＋b－2b＝9，①所以?
?2a＝2.②?
2
2
2
2
2
2
22
由②得a＝1，代入①，得b－2b－8＝0. 解得b＝－2或b＝4. 所以z＝1－2i或z＝1＋4i.
6．若虚数z同时满足下列两个条件：
2
5
①z＋是实数；
z②z＋3的实部与虚部互为相反数．
这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由． 解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i. 设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
z＋＝a＋bi＋ za＋bi
5（a－bi）＝a＋bi＋
a2＋b2＝?a＋55
??
5a??5b?
i. 2?＋?b－2
a＋b??a＋b2??
2
55b因为z＋是实数，所以b－2＝0.
za＋b2
又因为b≠0，所以a＋b＝5.① 又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数， 所以a＋3＋b＝0.② 由①②得?
?a＋b＋3＝0，?
??a＋b＝5，
2
2
2
2
解得
??a＝－1，??a＝－2，
?或? ?b＝－2?b＝－1，??
故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i.
2024版高考数学大一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第1讲 数系的扩充与复数的引入分层演练 文
