2.1 曲线与方程
551:已知两点M(1,),N(?4,?)给出下列曲线方程：①4x?2y?1?0；
44x2x22?y?1；?y2?1，②x?y?3；③④在曲线上存在点P满足|MP|?|NP|2222的所有曲线方程是（ ） A ①③ 【答案】:D
【解答】: 要使得曲线上存在点P满足|MP|?|NP|,即要使得曲线与MN的中垂线y??2x?3有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有①无解,则选D
2.两条直线x?my?1?0与mx?y?1?0的交点的轨迹方程是 .
【解答】:直接消去参数m即得(交轨法):x2?y2?x?y?0
3:已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是 .
【解答】:令M点的坐标为(x,y),则A的坐标为(2x,2y),代入圆的方程里面
B ②④
C ①②③ D ②③④
11得:(x?)2?y2?(x?0)
244:当参数m随意变化时，则抛物线y?x2??2m?1?x?m2?1的顶点的轨迹方程为___________。
【分析】：把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。
1?5???【解答】：抛物线方程可化为?x?m???y??m??
??2?4?15，y??m? 243消去参数m得：y?x?
4它的顶点坐标为x??m?故所求动点的轨迹方程为4x?4y?3?0。
25:点M到点F（4，0）的距离比它到直线x?5?0的距离小1，则点M的轨迹方程为____________。
【分析】：点M到点F（4，0）的距离比它到直线x?5?0的距离小1，意味着点M到点F（4，0）的距离与它到直线x?4?0的距离相等。由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。
【解答】：依题意，点M到点F（4，0）的距离与它到直线x??4的距离相等。则点M的轨迹是以F（4，0）为焦点、x??4为准线的抛物线。故所求轨迹方程为y2?16x。
6:求与两定点O?O1，0?、A?3，0?距离的比为1：2的点的轨迹方程为_________ 【分析】:设动点为P，由题意可列出等量关系式。
【解答】：设P?x，y?是所求轨迹上一点，依题意得
POPA?1，则依照点P在运动中所遵循的条件，2POPA?1 2由两点间距离公式得：
x2?y2?x?3?2?y2?1 2化简得：x2?y2?2x?3?0
7.抛物线y2?4x的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。
0?。设△ABC重心P的坐标为(x，y)，【分析】：抛物线y2?4x的焦点为F?1，点C的坐标为(x1，y1)。其中x1?1
【解答】：因点P?x，y?是重心，则由分点坐标公式得：x?即x1?3x?2，y1?3y
由点C?x1，y1?在抛物线y2?4x上，得：y12?4x1 将x1?3x?2，y1?3y代入并化简，得：y2?4?2??x??（x?1) 3?3?x1?2y，y?1 33
人教版高中数学选修(2-1)-2.1备选习题：曲线与方程
