大学物理练习册—导体和电介质中的静电场
导体
8-1两个同心导体球壳A和B，A球壳带电+Q，现从远处移来一带+q的带电体（见图8-1），试问（请阐明
理由）：（1）两球壳间的电场分布与无+q时相比有无变化？（2）两球壳间的电势差是否变化？（3）两球壳的电势是否变化？（4）如将B球壳接地，上述（1）、（2）、（3）的情况又如何？ 解：（1）由于静电屏蔽作用，+q对两球壳间的电场没有影响。
?B??+ + （2）由UAB?E?dl可知，由于E不变，所以UAB不变，即两求壳间的B + + AA + +q + + + Q 电势差不变。
?（3）由电势叠加原理，+q使两球壳的电势升高。
（4）B球壳接地，由于屏蔽作用，两球壳间的电场分布不变，从而UAB不变。因B球壳接地，电势不变，所以A球壳电势也不变。
图8-1
8-2半径为R1的导体球A，带电q，其外同心地套一导体球壳B，内外半径分别为R2和R3（见图8-2），且
R2=2R1，R3=3R1。今在距球心O为d =4R1的P处放一点电荷Q，并将球壳接地。问（1）球壳B所带的净电荷Q’ 为多少？（2）如用导线将导体球A与球壳B相连，球壳所带电荷Q ” 为多少？ 解：（1）根据静电平衡条件，A球上电荷q分布在A球表面上，B球壳内表面带电荷-q。
由高斯定理可得，R1?r?R2：E??q4??0r2dr??r0
R3 B A O R2 R1 Q P A球电势 UA??BA??E?dl??R2q4??0r2R1q11 ?)?4??0R1R28??0R1(q设B球壳外表面带电荷q’，由电势叠加原理，A球球心处电势
图8-2 U0?q4??0R1??qq'Qqqq'Q ??????24??0R4??0R34??0R44??0R14??02R14??03R14??04R1?q8??0R1?q'Q3q， ?q'??Q ??UA?8??0R144??03R14??04R134B球壳所带净电荷 Q'?q'?q??Q?q
（2）用导线将和相连，球上电荷与球壳内表面电荷相消。 ?Q\?q'??Q
8-3两带有等量异号电荷的金属板A和B，相距5.0mm，两板面积都是150cm2，电量大小都是2.66×l08C，
-
34?EA板带正电并接地（电势为零），如图8-3所示。略去边缘故应，求（1）两板间的电场强度；（2）B
Q -Q 板的电势；（3）两板间离A板1.0mm处的电势。
解：建立如图所示的坐标系，左右板的电荷面密度分别为??和??。 （1）两板间的电场强度
?????????Q?E?E左?E右?i?i?i?i
2?02?0?0?0S??2.66?10?8C5?i?2.0?10iN/C ?12?28.85?10?1.5?10O A x B 34
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A0??E?dl??Edx??E?xB??2.0?105?5.0?10?3??1.0?103V
（2）UB??B0?xB（3）U??E10dx??200.0V ?31.0??8-4点电荷q处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为R1和R2（见图8-4）。求电场强度和电势的分布，并画出E - r和U - r曲线.。
解：将空间分为三个区域，根据静电平衡时电荷分布和高斯定理可得 R2 r?R1： E1??r?R2： E3?电势分布
?q4??0r2q4??0r2??r0； R1?r?R2： E2?0；
3 2 ?r0
1 R q 1-q q r?R1：U???r??E?dl???R1r??E1?dl????q111?E3?dr?(??) r24??0rR1R2?R1?r?R2：U???r??E?dl??r2??E3?dr?q4??0R2
r?R2：U?
?r??E3?dl?q4??0r
U E O R1 R2 r O R1 R2 r 2mm ??2S??3S?qA，?UAC??UAB，即 ??2?2?3，得：?3???2dAC?3dAB ?0?02qqA，?2?A
3S3Sq2q??1???2??A， ?4???3??A
3S3S1 2 C A 3 4 B 35
4mm 电介质
8-5三平行金属板A、B和C，面积都是200cm2，A、B相距4.0mm，A、C间相距2.0mm，B、C两板都接
地（见图8-5）。如果使A板带正电3.0×10-7C，在忽略边缘效应时，（1）求B和C板上的感应电荷以及A板的电势；（2）若在A、B板间充满相对介电常数为εr=5的均匀电介质，求B和C板上的感应电荷以及A板的电势。 解：（1）外侧面上电荷为零，其它面由左至右分别设为1、2、3、4面。
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?qC??1S??UA?2qAq??2?10?7C，qB??4S??A??1?10?7C 33?22qdAC?AdAC?2.26?103V ?03?0S2q?5q?22dAC?3dAB ??2??3 可得 ?3?A ?2?A
7S?0?0?r57S（2）???1???2?? qB??4S??2q2qA5q6，?4???3??A，?qC??1S??A???10?7C 7S7S775qA?2q15???10?7C，UA?2dAC?AdAC?9.70?102V
?07?0S778-6在一半径为R1的长直导线外，套有内外半径分别为R1和R2、相对介电常数为εr的护套。设导线沿轴
???线单位长度上的电荷为λ，求空间的D、E、P。
解：取同轴长为l，半径为r的圆柱面为高斯面，由高斯定理
R2 3 2 1 R q 1-q ?S??D?dS?D?2?rl
???r?R1：D?2?rl?0，?D?0,E?0,P?0
q ????0?D??0?r??D?rE??r ：，，D?2?rl??lR1R2?0?r2??0?rr2?r P??e?0E?(1?????0r
?r2?r1)??????0?D??0r?R2：D?2?rl??l， ?D?r， P??e?0E?0 r，E???02??0r2?r8-7半径为R0的金属球，带电+Q，置于一内外半径分别为R1和R2的均匀介质球壳中，介质的相对介电常
数为εr，如图8-7所示。求：（1）电场强度和电位移分布；（2）电势分布；*（3）介质中的电极化强度；*
（4）介质壳内外表面上的极化电荷面密度。 解：（1）作一半径为r的同心球面为高斯面，由高斯定理
?r?R0：E1?0
?????DQQ?0?02rE??r ，R0?r?R1： D2?dS?D2?4?r2?Q，?D2?2S4?r2?04??0r2???????D3Q?0Q?0r， R1?r?R2： D3?dS?D3?4?r2?Q，?D3?E??r3S4?r2?0?r4??0?rr2?????DQ?0Q?03r?R2：D4?dS?D4?4?r2?Q，?D4?，E??r r4S?04??0r24?r2? 36
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?（2）r?R0：U1???rR1??E?dl?Q4??0r2[(?R0r??E1?dl??R1R0??E2?dr?dr???R2R1??E3?dr?Q??R2??E4?dr
?R0dr??R2Q4??0?rr2R1?R24??0r2dr
?Q4??0r111111?)?(?)?] R0R1?rR1R2R2R0?r?R1：U2??E?dl??E2?dr??E3?dr??E4?dr
rR1R2???R1??R2????? ?111111[(?)?(?)?] 4??0rR1?rR1R2R2?Q??R1?r?R2：U3??E?dl??E3?dr??E4?dr?R2?rrR2????1111(?)?]
4??0?rrR2R2[R2 R0 O +Q 图8-7
Qr?R2： U4???r??E?dl???r?Q? E4?dr?4??0r??1Q?0（3）P??e?0E3?(1?)r
?r4?r2?（4）R1处介质壳内表面的法向指向球心，与P反向
??1'?P?n??(1?R1 εr ??1?r)Q 24?R1???Q1R2处介质壳外表面的法向向外，与P同向，??2'?P?n?(1?)
?r4?R22电容器
8-8平行板电容器，极板而积为S，板间距为d。相对介电常数分别为εr1和εr2的两种电介质各充满板间的
一半，如图8-8所示。（1）此电容器带电后，两介质所对的极板上自由电荷面密度是否相等？为什么？（2）此时两介质内的电位移大小D是否相等？（3）此电容器的电容多大？ 解：（1）设左右两侧极板上的电荷面密度分别为??1和??2，因两侧电势差相等
???E1d?E2d 即 E1?E2，有 1?2
?0?r1?0?r2即
S εr1 图8-8
εr2 d ?1?2，??r1??r2 ??1??2 ??r1?r2（2）对平行板
D??，由?1??2 可知 D1?D2
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（3）左右两侧电容分别为C1??0?r1S2d，C2??0?r2S2d，两电容并联 C?C1?C2??0D2d(?r1??r2)
8-9由半径为R2的外导体球面和半径为R1的内导体球面组成的球形电容器中间，有一层厚度为d、相对介
电常数为εr的电介质，其中d＜R2—R1，求该电容器的电容。 R2 解：设两倒替球面分别带电荷?Q和?Q。由高斯定理
?R1?r?R1?d：E1?两球壳间的电势差为
Q4??0?rr2??r0；R1?d?r?R2：E2?Q4??0r2?r0
εr RO R1+d ?U??R2R1??E?dl??R1?dR1??E1?dr??R2R1?d??E2?dr??R1?dQ4??0?rr2R1dr??R2Q4??0r2R1?ddr 图8-9 ?Q[R2d??rR1(R2?R1?d)]11111 (?)?(?)]?4??0?rR1R1?dR1?dR24??0?rR1R2(R1?d)Q[4??0?rR1R2(R1?d)Q ??UR2d??rR1(R2?R1?d)?C?电场能量
8-10一个电容器电容C1＝20.0?F，用电压V=1000V的电源给该电容器充电，然后拆下电源，并用另一不
带电的电容器C2接于原来电源处，已知C2＝5.00 ?F。求：（1）两电容器各带电多少？（2）C1两端电势差多大？（3）C1能量损失多少？ 解：（1）两电容并联后总电量不变。设C1、C2各带电Q1、Q2，有
C12Q1Q2202V??10?6?103?1.6?10?2C ，Q1?Q2?Q?C1V，解得 Q1??C1?C220?5C1C2 Q2?C1V?Q1?20?10?6?103?1.6?10?2?4?10-3C
Q11.6?10?2??800V （2）C1两端的电势差 V1?C120?10?6（3）能量损失
?W?1111C1V2?(C1?C2)V12??20?10?6?(103)2??(20?5)?10?6?8002?2J 22228-11两同轴圆柱面，长度均为l，半径分别为a和b，两圆柱面之间充有相对介电常数为?r的均匀电介质。
当这两个圆柱面带有等量异号电菏+Q和-Q时，求：（1）在半径为r处（a＜r＜b)，电场的能量密度是多少？ r处厚度为dr、长度为l的圆柱簿壳中的电场能量为多少？（2）电介质中的总电能是多少？能否从总电场能量推算出圆柱形电容器的电容？（不计边缘效应） 解：（1）由高斯定理可得r处得电场强度大小为 E??Q ?2??r2??rl121Q2Q2电场能量密度，w??E??()?222
222??rl8??rl 38
8大学物理习题及综合练习答案详解
