勾股定理知识点及练习题
1．勾股定理
勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的 平方和 等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2． ①应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是 c2+a2=b2 ；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．
②如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
? 典型题型：已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定
用勾股定理的原式还是变式．
【例1】已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则第三边长为 A．5
B．7
C．7或5
D．5 【答案】A
【解析】由勾股定理得：斜边=32?42?5．故选A．
2．勾股定理的证明
? 课外知识拓展：在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理．
对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾股圆方图”（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、加菲尔德总统拼图、毕达哥拉斯拼图等．
? 典型题型：勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问
题转化为“数”的问题．
【例2】中国古代数学家们对勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC?b，BC?a．请你利用这个图形解决下列问题： （1）试说明a2?b2?c2；
（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求?a?b?的值．
2
3．勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数．
? 一组数是勾股数必须同时满足两个条件： （1）这三个数都是正整数；
（2）两个较小数的平方和等于最大数的平方，这两个条件缺一不可． ? 常见的勾股数有：
①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15．常见的勾股数需牢记，平时在解决问题时常用，有利于打开思路．
? 勾股数的求法：如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有a2=b+c，那么a，b，c
为一组勾股数．
如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数，且32=4+5，则3，4，5为一组勾股数， 还有：5，12，13； 7，24，25； 9，40，41； 11，60，61；…． 【例3】 下列各组数是勾股数的是 A．2、3、4 【答案】C
B．1.5、2、2.5
C．3、4、5
D．4、5、6
4．勾股定理的应用
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下：
（1）已知直角三角形的任意两边求第三边； （2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； （3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题；
（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题．
? 典型题型：利用勾股定理解应用题的关键是寻找直角三角形，若不存在直角三角形，可通过添加辅助
线构造出直角三角形．
【例3】如图，有一只小鸟在一棵高13 m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12 m，高8 m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2 m/s的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？
【解析】过B作BC⊥AD，垂足为点C，如图，
根据题意，得AC=AD-BE=13-8=5 m，BC=12 m． 根据勾股定理，得AB=AC2?BC2=13 m．
2=6.5（s）． 则小鸟所用的时间是13÷
答：这只小鸟最短要飞13 m，至少6.5 s才可能到达小树和伙伴在一起．
基础练习题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c．若a=5，b=12，则c的长为 A．119 C．18
B．13 D．169
2．如果Rt△的两直角边长分别为k2-1，2k（k>1），那么它的斜边长是 A．2k
B．k+1 D．k2+1
C．k2-1
3．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为
A．4米 B．8米 C．9米 D．7米
4．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3 m处折断，树顶端落在离树底部4 m处，则树折断之前高
A．5 m B．7 m C．8 m D．10 m
5．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为
A．8 B．9 C．10 D．11
6．若直角三角形的三边长分别为a?b、a、a?b，且a、b都是正整数，则三角形其中一边的长可能为 A．22
B．32
C．62
D．82
7．如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为__________．
8．若△ABC中，∠C=90°．
（1）若a=5，b=12，则c=__________； （2）若a=6，c=10，则b=__________；
（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a=__________，b=__________．
9．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为__________．
10．如图，在东西走向的铁路上有A，B两站，在A，B的正北方向分别有C，D两个蔬菜基地，其中C
到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米．在铁路AB上有一个蔬菜加工厂E，蔬菜基地C，D到E的距离相等，且AC=BE，则E站距A站__________千米．
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）若a∶b=3∶4，c=75 cm，求a、b； （2）若a∶c=15∶17，b=24，求△ABC的面积； （3）若c-a=4，b=16，求a、c；
（4）若∠A=30°，c=24，求c边上的高hc； （5）若a、b、c为连续整数，求a+b+c．
12．已知：△ABC中，AD为BC中线，求证：AB2?AC2?2(BD2?AD2)．
13．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长．
八年级数学上册,第一章,勾股定理知识点及练习题(北师大版)
