一元二次不等式及其解法
【知识梳理】
．一元二次不等式
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式，即形如＋＋＞(≥)或＋＋＜(≤)(其中≠)的不等式叫做一元二次不等式．
．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.
．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 判别式Δ＝－ 一元二次方程＋＋＝(>)的根 二次函数＝＋＋ (>)的图象 ＋＋>(>)的解集 ＋＋<(>)的解集 【常考题型】 题型一、一元二次不等式的解法
【例】解下列不等式： ()＋＋＞； ()－－≤； ()－＋－≥； ()－＋－＞； ()－＋－＜.
[解] ()因为Δ＝－××＝＞，所以方程＋＋＝有两个不等实根＝－，＝－.又二次函数＝＋＋的图象开口向上，所以原不等式的解集为{＞－，或＜－}．
()原不等式可化为(－)(＋)≤，所以原不等式的解集为{－≤≤}． ()原不等式可化为≤，所以原不等式的解集为.
()原不等式可化为－＋＜，Δ＝(－)－＝－＜，所以方程－＋＝无实根，又二次函数＝－＋的图象开口向上，所以原不等式的解集为?.
或>} ? ? Δ> 有两相异实根，，(＜) Δ＝ 有两相等实根＝＝－ Δ< 没有实数根 ()原不等式可化为－＋＞，因为Δ＝－××＝－＜，所以方程－＋＝无实根，又二次函数＝－＋的图象开口向上，所以原不等式的解集为.
【类题通法】
解一元二次不等式的一般步骤
()通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ()计算对应方程的判别式；
()求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ()根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． 【对点训练】 ．解下列不等式： ()－－>；()－＋>.
()(－)(＋)<；()(－＋)>(－)． 解：()方程－－＝的两根为＝－， ＝.
结合二次函数＝－－的图象知，原不等式的解集为{<－或>}． ()原不等式可化为－＋<. 解方程－＋＝得，＝，＝.
结合二次函数＝－＋的图象知，原不等式的解集为 {<<}．
()原不等式可化为(－)(＋)>. 方程(－)(＋)＝两根为和－.
结合二次函数＝(－)(＋)的图象知，原不等式的解集为{<－或>}． ()由原不等式得－＋>－. ∴原不等式等价于－＋>. 解方程－＋＝，得＝＝.
结合二次函数＝－＋的图象知，原不等式的解集为{≠}.
题型二、解含参数的一元二次不等式
【例】解关于的不等式＋(－)－＜.
[解]方程＋(－)－＝的解为＝－，＝，函数＝＋(－)－的图象开口向上，则当＜－时，原不等式解集为{＜＜－}；
当＝－时，原不等式解集为?； 当＞－时，原不等式解集为{－＜＜}． 【类题通法】
解含参数的一元二次不等式时：
()若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于与小于进行讨论； ()若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ()若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【对点训练】
．解关于的不等式：－(－)－＜(∈)． 解：原不等式可化为： (＋)(－)＜， 当＝时，＜， 当＞时(－)＜ ∴－＜＜. 当＝－时，≠， 当－＜＜时，(－)＞， ∴＞－或＜. 当＜－时，－＜， ∴＞或＜－，
综上原不等式的解集是： 当＝时，{＜}； 当＞时，； 当＝－时，{≠}； 当－＜＜时， .
当＜－时，，
题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系
【例】
已知关于的不等式＋＋＜的解集为{＜＜}，求关于的不等式＋＋＞的解集．
[解]∵＋＋＜的解集为{＜＜}，
高中数学必修5常考题型一元二次不等式及其解法 Word版含解析
