高三数学第二轮专题讲座复习：导数的应用问题.doc

高三数学第二轮专题讲座复习 导数的应用问题

高考要求：

利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间［d,b］上的最大最小值，或利用求导法解决 一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而己 逐渐成为新高考的乂一热点.木节内容主要是指导考生对这种方法的应用. 重难点归纳：

1. 丿(工)在某个区间内可导，若f (工)>0,则7U)是增函数；若f (x)<0,则/(兀)是减函数.2? 求函数的极值点应先求导，然后令=0得出全部导数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值 点，例如：尸X3 4 5 6,当戸0时，导数是0,但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点 左、右两边的增减性，即两边的的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非 极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0?

3. 可导函数的最值可通过@,方)内的极值和端点的函数值比较求得，但不可导函数的极值有 时可能在函数不可导的点处取得，因此，一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比 较，如y= x ,在尸0处不可导，但它是最小值点. 典型题例示范讲解：

例 1 已知 J(x)=ax7+bx8+cx(a0)在 x= 土 1 时取得极值，且 1? (1) 试求常数a、b、c的值； (2) 试判断尸±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.

命题意图：利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法?是导数在研究函数性质方面的继续 深入.是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学牛加深对函数单调性与其导数关 系的理解.

知识依托：解题的成功要靠正确思路的选择.本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进 行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽彖的问题具体化.这是解答木题的闪光点.

错解分析：本题难点是在求导之后，不会应用f (±1)=0的隐含条件，因而造成了解决问题 的最犬思维障碍.

技巧与方法：考查函数7U)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值，再通过极值点 与导数的关系，建立?由极值点x二土 1所确定的相等关系式，运用待定系数法求值.

解：(I)/' (x)=3a^+2bx+c

9/?x=± i是函数yw的极值点，

10?5=土 1是方程f (x)=0,即3ax+2bx+c=0的两根.

壬①

由根与系数的关系，得］

—=-1 ② 〔3d

—

—一 1 3

当 x<-\\ 或X>｝吋，f (x)>0 当一1VX<1 时，f (x)<0

???函数心)在(一8,—1)秋1,+8)上是增函数，在(-1, 1)上是减函数. ???当小一1时.，函数取得极大值人一1)=1, 当x=l时，函数取得极小值人1)二一1?

例2在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位 于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站

10 2 3 3 3 z 3 ?

(2”(兀)二:.j M= -x2-- = -(x-l)(x+l)

由①②③解得 a= — ,b = 0.c = — ,

2 2

C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米％元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能 使水管费用最省？

命题意图：学习的目的，就是要会实际应用，本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问 题的意识，思想方法以及能力?

知识依托：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学 语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常 规问题，选择合适的数学方法求解.

错解分析：本题难点是如何把实际问题屮所涉及的儿个变量转化成函数关系式.

技巧与方法：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理 选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系.

③

解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省,设C点距 D 点 x km,则??? BD=4 0^C=50~x, 又1 )= — 1,c= — 1,

BC= J BD? + CD? = 4+40,

2又设总的水管费用为y元，依题SW： y=30(5a~x)+5aylx +402 (0

5/7Y

〉，'=—3G+ 严 ，令〉，'=0,解得尸 30

厶2 +4(卩

在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在A=30(km)处取得最小值，此时AC=50~A=20(km)

???供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.

40 71

解法二 设ZBCD=Q,则 BC= ------------ ,CD二40col 〃,(0V 〃 V —)；AC=50—40col 0

sin& 2

设总的水管费用为n &),依题意，

4() 5 — 3cos0

冇代 〃)=3d(50—40 ? cot 〃)+5d ? ---- = 150G+40G ? ----------------

sin/9 sin&

? q , /八“ (5-3cos^y?sin&-(5-3cos0?(sin&y “ 3-5coW .j ( 〃)=40° ---------------------------- TVT --------------------- =4(匕一ry—

sin 0 sin 0

3 3

11 12

令f \得cos〃 = 2根据问题的实际意义，当cos ^=-时，函数取得最小值，

11 3

此时sin 〃二一,???cot 〃二一,???/年50-40co.t ^=20(km),即供水站建在水〃之间距甲厂20 km

12 4

处，可使水管费用最省.

例3已知yu)=“+c,且/ ［几劝］=^+\\) ⑴设g(x)=f t/u)］，求g(x)的解析式；

⑵设egg—入g 试问：是否存在实数/I,使QU)在(一8,—1)内为减函数，且在 (-1, 0)内是增函数. 解：⑴由题意得/ ［.fix) ］ =^/(X2+C)=(X2+C)24-C

/(.r+1 )=(X2+ 1 )2+C, ?:f C/U)］引(.0+1) .I (”+0)2+6?=(#+ 1)2+C, .I ?+C=X24-1, /. C= 1

???Ar)二/+1 ^(x)=f L/U) ］ =/(^+1 )=(”+1 )2+1 (2) e(x)=g(x)- Mx)=J+(2 — 久)\— 久.)

若满足条件的久存在，则/ (x)=4?+2(2- A)x???函数?⑴在(一8,—1)上是减函数， ???当兀<一1时，O'(兀)<0 即4?+2(2- A)x<()对于xe(-co,-i)恒成立

???2(2 —人)>一4「，?.?兀<一1,???一4兀2<—4???2(2 —久)$ — 4,解得久W4 又函数0⑴在(一1,0)上是增函数 ???当一l0

即 4“+2(2— A)x>()对于 xW(—1,0)恒成立 ???2(2—久)<一4”， V -1

故当人=4时g(x)在(一汽_1)上是减函数，在(一1,0)上是增函数，即满足条件的人存在练习：

学生巩固 1?设yU)可导，A/ (0)=0,又 lim' E =-1,则人0)()

A->() x

A.可能不是/(工)的极值 B. 一定是/(兀)的极值 C. 一定是7U)的极小值 D.等于0 2. 设函数fnM=n2x\\l-x)\\n为正整数)，则齐⑴在[0,1 ]上的最大值为()

B? 1 C?(1一一 )\D. 4(—)/,+,

2+n n+2

3?函数Xx)=logrt(3x2+5A— 2)(?>0 且 dH 1)的单调区间 ______ .

4. 在半径为/?的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 _______ 时它的面积最大. 5. 设J{x)=ax^x恰有三个单调区间，试确定。的取值范围，并求其单调区间. 参考答案：

A. 0

1. 解析：由lim以9=一1,故存在含有0的区间(M)使当兀0时上型<0,于是当兀

XTO X X

*,0)时f (0)>0,当圧(00)时，f (0)<0,这样问在(a,0)上单增，在(00)上单减

答案：B

,h]2. 解析：Tf ?(%)=W( 1 (1 ~x)

n12

=nx(l —x)' [2(1 —x)~nx~\\ , 2

令 f 〃(x)=0,得 Q =O,X2= 1 旳二 T——，

2 + 7?

2

易知人(龙)在尸—— 时取得最人值，

2 + n

圾大值加二)=/(二)2(1—￥_)y?(y_严 答案：D

2 + n 2 + /Z 2 +n 2 +n

3. 解析：函数的定义域是兀〉丄或x<-2,

3

f ⑴二

警”?(3皿-2)，二 g)T,

3?广 + 5x — 2

(3x 一 1)(兀 + 2)

①若I,则当 x> —时，log“g>0,6x+5>0,(3x— 1 )(x+2)>0,

3

???/' ?>0,.\\函数ZU)在(丄,+8)上是增函数，x<-2时，f (x)<0. 函数7U)在(一 8，一2)上是减函数. ②若0<°<1,则当x>-时，f (0<0,???沧)在(丄,+8)上是减函数, 当 x<-2 时，f (x)>O,A/x)a(-oo,-2)上是增函数

4. 解析：设圆内接等腰三角形的底边长为力，高为h, 那么 h=AO+BO=R+ -x，解得

「詡(2/?-力),于是内接三角形的面积为

1f答案：(-oo-2)

S=x ■ h= 7(2/?/?-/z2) ? h = J(2Rhf

i

_1

从而S' = -(2Rh3-h4) 2(2Rh3-h4Y = -(2/?/?-/?)'(6/?/?-4/2)= 2

3

42

2

3

Y

(3/?

~ =

&2R-hW令ST解得吩尺由于不考虑不存在的情况，所在区间g)上列表如下:

2 2 + — S， 0 S 增函数 最大值 减函数 h （0,沃） （弊）

3 3

由此表可知，当x=-R时，等腰三角形面积最大.答案：-R

2 2 5. 解：f (x)=3ax1+1 若 ?>0/ (力>0 对 XE(-oo,+ oo)恒成立， 此时丿(劝只冇一个单调区间，矛盾.

若—Of (x)=l>0,???xW(—8,+8)夬劝也只有一个单调区间.若 aVO, 丁/‘(x)=3a(K—/ ) ■ (x_ [

),

此时/U)恰有三个单调区间.

单调增区间为(-扁,

?°?Q<0且单调减区冋为(一°°, — / )和(/

,+ 8),

. ，矛盾