专题8:导数(文)
经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. f?(x)是f(x)?13x?2x?1的导函数,则f?(?1)的值是 。 32 解析:f'?x??x?2,所以f'??1??1?2?3 答案:3
考点二:导数的几何意义。
例2. 已知函数y?f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y?1x?2,则2f(1)?f?(1)? 。
解析:因为k?11,所以f'?1??,由切线过点M(1,f(1)),可得点M的纵坐标为2255,所以f?1??,所以f?1??f'?1??3 22答案:3
,?3)处的切线方程是 。 例3.曲线y?x?2x?4x?2在点(1,?3)处切线的斜率为k?3?4?4??5,所以设切解析:y'?3x?4x?4,?点(1232线方程为y??5x?b,将点(1所以,过曲线上点(1,?3)带入切线方程可得b?2,,?3)处的切线方程为:5x?y?2?0 答案:5x?y?2?0
点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。
例4.已知曲线C:y?x?3x?2x,直线l:y?kx,且直线l与曲线C相切于点
32?x0,y0?x0?0,求直线l的方程及切点坐标。
解析:?直线过原点,则k?y0?x0?0?。由点?x0,y0?在曲线C上,则x0y0?x0?3x0?2x0,? 32y02?x0?3x0?2。又y'?3x2?6x?2,? 在x02?x0,y0?
处曲线C
的切线斜率为k?f'?x0??3x0?6x0?2,?222x0?3x0?0,整理得:解得:x0?x0?3x0?2?3x0?6x0?2,
3或x0?02(舍),此时,y0??311,k??。所以,直线l的方程为y??x,切点坐标是844?33??,??。 ?28?答案:直线l的方程为y??1?33?x,切点坐标是?,?? 4?28? 点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。
考点四:函数的单调性。
例5.已知f?x??ax?3x?x?1在R上是减函数,求a的取值范围。
32解析:函数f?x?的导数为f'?x??3ax?6x?1。对于x?R都有f'?x??0时,f?x?2为减函数。由3ax?6x?1?0?x?R?可得?2?a?0,解得a??3。所以,
??36?12a?0?当a??3时,函数f?x?对x?R为减函数。
1?8?(1) 当a??3时,f?x???3x3?3x2?x?1??3?x???。
3?9?由函数y?x在R上的单调性,可知当a??3是,函数f?x?对x?R为减函数。
33(2) 当a??3时,函数f?x?在R上存在增区间。所以,当a??3时,函数f?x?在
R上不是单调递减函数。
综合(1)(2)(3)可知a??3。
答案:a??3
点评:本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题,要有求导意识。 考点五:函数的极值。
例6. 设函数f(x)?2x?3ax?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值。 (1)求a、b的值;
(2)若对于任意的x?[0,3],都有f(x)?c成立,求c的取值范围。
解析:(1)f?(x)?6x?6ax?3b,因为函数f(x)在x?1及x?2取得极值,则有
2232?6?6a?3b?0,,解得a??3,b?4。 f?(1)?0,f?(2)?0.即??24?12a?3b?0.(2)由(Ⅰ)可知,f(x)?2x?9x?12x?8c,f?(x)?6x?18x?12?6(x?1)(x?2)。 当x?(01),时,f?(x)?0;当x?(1,2)时,f?(x)?0;当x?(2,3)时,f?(x)?0。所以,当x?1时,f(x)取得极大值f(1)?5?8c,又f(0)?8c,f(3)?9?8c。则当x??0,3?时,f(x)的最大值为f(3)?9?8c。因为对于任意的x??0,3?,有f(x)?c恒成立,
2322所以 9?8c?c,解得 c??1或c?9,因此c的取值范围为(??,?1)U(9,??)。
2?1)U(9,??)。 答案:(1)a??3,b?4;(2)(??, 点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数f?x?的极值步骤:①求导数f'?x?; ②求f'?x??0的根;③将f'?x??0的根在数轴上标出,得出单调区间,由f'?x?在各区间上取值的正负可确定并求出函数f?x?的极值。 考点六:函数的最值。
例7. 已知a为实数,f?x??x?4?x?a?。求导数f'?x?;(2)若f'??1??0,求f?x?2??在区间??2,2?上的最大值和最小值。
解析:(1)f?x??x?ax?4x?4a,? f'?x??3x?2ax?4。
322(2)f'??1??3?2a?4?0,?a?
12。?f'?x??3x?x?4??3x?4??x?1? 2
令f'?x??0,即?3x?4??x?1??0,解得x??1或x?上随x的变化情况如下表: 4, 则f?x?和f'?x?在区间??2,2?34 30 极小值 x ?2 0 ??2,?1? + 增函数 ?1 0 极大值 4????1,? 3??— 减函数 ?4??,2? ?3?+ 增函数 2 0 f'?x? f?x? f??1??50509?4??4?,f????。所以,f?x?在区间??2,2?上的最大值为f????,最
3273272????小值为f??1??9。 22答案:(1)f'?x??3x?2ax?4;(2)最大值为f?????4??3?509,最小值为f??1??。 272 点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数f?x?在区间?a,b?上的最值,要先求出函数f?x?在区间?a,b?上的极值,然后与f?a?和f?b?进行比较,从而得出函数的最大最小值。
考点七:导数的综合性问题。
例8. 设函数f(x)?ax?bx?c(a?0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线
3x?6y?7?0垂直,导函数f'(x)的最小值为?12。(1)求a,b,c的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在[?1,3]上的最大值和最小值。 解析: (1)∵f(x)为奇函数,∴f(?x)??f(x),即?ax?bx?c??ax?bx?c
33∴c?0,∵f'(x)?3ax?b的最小值为?12,∴b??12,又直线x?6y?7?0的斜率为
21,因此,f'(1)?3a?b??6,∴a?2,b??12,c?0. 623(2)f(x)?2x?12x。 f'(x)?6x?12?6(x?2)(x?2),列表如下:
x (??,?2) ? ?2 (?2,2) 2 (2,??) ? f'(x) 0 ? 0
f(x) 增函数 极大 减函数 极小 增函数 所以函数f(x)的单调增区间是(??,?2)和(2,??),∵f(?1)?10,
f(2)??82,f(3)?18,∴f(x)在[?1,3]上的最大值是f(3)?18,最小值是f(2)??82。
答案:(1)a?2,b??12,c?0;(2)最大值是f(3)?18,最小值是f(2)??82。 点评:本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识,以及推理能力和运算能力。
导数强化训练 (一) 选择题
x211. 已知曲线y?的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( A )
42A.1
3B.2
2 C.3 D.4
( B )
2. 曲线y?x?3x?1在点(1,-1)处的切线方程为
A.y?3x?4
2B.y??3x?2 C.y??4x?3 D.y?4x?5
3. 函数y?(x?1)(x?1)在x?1处的导数等于 ( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
( A )
4. 已知函数f(x)在x?1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为
A.f(x)?(x?1)?3(x?1)
C.f(x)?2(x?1) D.f(x)?x?1
3222B.f(x)?2(x?1)
5. 函数f(x)?x?ax?3x?9,已知f(x)在x??3时取得极值,则a=( D )
(A)2
6. 函数f(x)?x?3x?1是减函数的区间为( D ) (A)(2,??)(B)(??,2)(C)(??,0)(D)(0,2)
32 (B)3 (C)4 (D)5