（1）证明：BE?平面ADC；
（2）若ED?1,二面角C?BE?D的平面角的正切值为6,求直线BD与平面ADC所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
6 3【解析】（1）证明AB?BD,从而证明AB?平面BCD,进而得出AB?CD,即可证
CD?平面ABD.最后证得BE?平面ADC.
（2）若ED?1,二面角C?BE?D的平面角的正切值为6,由（1）知BE?平面
ADC,
因为BC?平面ADC,所以BE?EC,
又BE?ED,所以?DEC即为二面角C?BE?D的平面角,得
tan?DEC?CD?6,从而求出BD?3,BC?3,建立空间直角坐标系,求平面EDADC的法向量为n??x,y,z?,
最后根据公式sin??cosDB,n,即得直线BD与平面ADC所成角大小. 【详解】
（1）证明：在平行四边形ABCD中,BD?CD, 则AB?BD.
在三棱锥A?BCD中,因为AB?BC,BC所以AB?平面BCD,所以AB?CD. 又BD?CD,ABBD?B.
BD?B,所以CD?平面ABD.
又BE?平面ABD,所以CD?BE. 因为BE?AD,ADCD?D,所以BE?平面ADC.
（2）解：由（1）知BE?平面ADC, 因为BC?平面ADC,所以BE?EC,
又BE?ED,所以?DEC即为二面角C?BE?D的平面角,即tan?DEC?6. 第 16 页 共 22 页
因为CD?平面ABD,AD?平面ABD. 所以CD?AD,故tan?DEC?CD?6, ED又ED?1.所以AB?CD?6. 在平行四边形ABCD,?ADB??DBC,?BED??BDC?90?, 所以?DEB与?BDC为相似三角形,则
EDBD?, BDBC故BD?m（m?0）,解得BC?m2?6,
1故?mmm2?6,解得m?3,
所以BD?3,BC?3.
过点D作DF//AB,以D为坐标原点,DB,DC,DF的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.
则D?0,0,0?,A所以DA??3,0,6,C0,6,0,B?3,0,??6?,DC??0,??3,0,0.
?6,0,DB???3,0,0.
?设平面ADC的法向量为n??x,y,z?,
??n?DA?3x?6z?0则? ??n?DC?6y?0令z??6,得n?23,0,?6. 设直线BD与平面ADC所成角为?,
??sin??cosDB,n?DB?nDB?n?66? 33?186. 3即直线BD与平面ADC所成角为第 17 页 共 22 页
【点睛】
本题主要考查空间线面垂直判定性质及二面角的解法,属于中档题.
20．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵人机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格： 潜伏期（单位：天） 人数
（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关； 潜伏期?6天 潜伏期?6天 总计 ?0,2? ?2,4? ?4,6? ?6,8? ?8,10? ?10,12? ?12,14? 85 205 310 250 130 15 5 50岁以上（含50岁）100 50岁以下 总计
55 200 （3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立，为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？ 附：
P?K2?k0? k0
0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 n?ad?bc?，其中n?a?b?c?d. K2??a?b??c?d??a?c??b?d?第 18 页 共 22 页
2
【答案】（1）5.4天；（2）见解析，没有；（3）8人.
【解析】（1）根据统计数据计算平均数即可；（2）根据题意补充完整的列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；（3）根据题意知随机变量X2??B?20,?，计算概率
5??P?X?k?，列不等式组并结合题意求出k的值.
【详解】 （1）x?1 ?1?85?3?205?5?310?7?250?9?130?11?15?13?5??5.4天；
1000（2）根据题意补充完整的列联表如下： 潜伏期?6天 潜伏期?6天 35 总计 65 50岁以上（含50岁）100 50岁以下 总计
55 120 45 80 100 200 200??65?45?55?35?252则K2???2.083，K?2.083?3.841，
120?80?100?10012所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关； （3）由题可得该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率为设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X，则Xk20?k2250?130?15?52?，
100052??B?20,?，
5??k?2??3?P?X?k??C20?????5??5?，k?1,2,3,,20，
k+119?k?k?2?k?3?20?k23????k+1?C20?C20??????????P?X?k??P?X?k?1???5??5??5??5?由?，即?， k20?kk?121?kPX?k?PX?k?1???????3??k?2??3?k?1?2?C?C20????????20?555???????5???3742?3?k?1??2?20?k??k?化简得?解得，又k?1,2,3,221?k?3k?55???即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能时8人. 【点睛】
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,20，所以k8，
本题主要考查独立性检验的应用问题，以及二项分布，考查学生的计算能力，属于中档题.
1x2y221．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，
2ab过F1作直线l与椭圆C交于A，B两点，?ABF2的周长为8． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）问：?ABF2的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．
9?x2y2【答案】（1）（2） ??1；
1643【解析】（1）由离心率得a?2c，再利用?ABF2的周长为8得a?2，从而得到a,b,c的值，进而得到椭圆的方程；
（2）将?ABF2的内切圆面积的最大值转化为求S?ABF2的值最大，设A(x1,y1)，
B(x2,y2)，直线l:x?my?1，从而将面积表示成关于m的函数，再利用换元法研究
函数的最值. 【详解】 （1）
离心率为e?c1?，?a?2c， a2?ABF2的周长为8，?4a?8，得a?2， ?c?1，b2?a2?c2?3，
x2y2因此，椭圆C的标准方程为??1．
431（2）设?ABF2的内切圆半径为r，?S?ABF2?(|AF2|?|AB|?|BF2|)?r，
2又
|AF2|?|AB|?|BF2|?8，?S?ABF2?4r，
要使?ABF2的内切圆面积最大，只需S?ABF2的值最大． 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l:x?my?1，
?x2y2?1??22联立?4消去x得：(3m?4)y?6my?9?0， 3?x?my?1?第 20 页 共 22 页
2024届山东省潍坊高密市高三模拟数学试题一(解析版)
