形结合思想属于基础题特别要掌握已知渐近线方程时,如何设出双曲线的标准方程. 14．已知f?x?是定义在R上的偶函数，且f?x?2??f?2?x?，当x???2,0?时，
?2??2,6?内关于x的方程f?x??loga?x?2??0（a?0且f?x????2???1，若在???xa?1）有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是______.
【答案】?8,???
【解析】推导出函数y?f?x?的周期和对称轴，由题意可知函数y?f?x?与函数
y?loga?x?2?在区间??2,6?上的图象有4个交点，数形结合可得出实数a所满足的
不等式组，进而可解出实数a的取值范围. 【详解】
由f?x?2??f?2?x?，得f?x??f?4?x?，即函数y?f?x?的图象关于直线
x?2对称.
又y?f?x?是定义在R上的偶函数，所以f?4?x??f?x??f??x?，即
f?4?x??f?x?，则f?x?是以4为周期的周期函数.
画出函数y?f?x?与函数y?loga?x?2?在??2,6?上的图象如图所示.
?a?1fxy?logx?2要使函数??与?的图象有4个不同的交点，则有?log6?2?1，a???a?解得a?8，
即实数a的取值范围是?8,???. 故答案为：?8,???. 【点睛】
本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，一般转化为两个函数图象的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
15．在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a,b,c，记△ABC的面积为S，且
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4a2?b2?2c2，则
【答案】
S的最大值为__________. a210 6【解析】根据题中条件利用余弦定理进行简化，然后化简为二次函数，求出二次函数的最值即可. 【详解】
由题知4a2?b2?2c2?b2?4a2?2c2?a2?c2?2accosB， 整理得2accosB??3a2?3c2?cosB?23?a2?c2?2ac，
?1?2222acsinBc1?cosB????ScsinB????2因为?2???， ?????22a4a?a????2a???代入cosB?3?a2?c2?2ac2?1?c4c2?S?整理得?2????94?222?9?，
16?aa?a??2c211?11?10?S?令t?2，有?2???9t2?22t?9???3t2???，
a1616?3?36?a???2S10?S?10所以?2??， ?2?a6?a?36所以
2S10. 的最大值为2a610 6故答案为：【点睛】
本题主要考查了利用余弦定理解三角形，结合考查了二次函数的最值问题，属于中档题.
四、双空题
1??16．若?3x??展开式的二项式系数之和是64,则n?__________;展开式中的常数
x??项的值是__________. 【答案】6 135
【解析】由二项式系数和求出指数n,仔写出展开式通项后可得常数项. 【详解】
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n1??解:因为?3x??展开式的二项式系数之和是64,
x??则2n?64,解得n?6,
n1??2?1?2所以?3x?展开式中常数项的值是C3x??6???135. ?x???x?故答案为: (1). 6 (2). 135 【点睛】
本题主要考查二项式定理,在?a?b?展开式中二项式系数为2n,所有项的系数和为
nn4?a?b?n.其中二项式系数是固定的,只与指数n有关,而所有相系数还与二项式中的系数
a,b有关.
五、解答题
17．在①a2，a3，a4?4成等差数列.②S1，S2?2，S3成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答.
在公比为2的等比数列?an?中，______ （1）求数列?an?的通项公式；
?4n?2?b?n?1loga（2）若n??2n，求数列?b2?的前n项和Tn.
?n?【答案】（1）an?2（2）Tn?2?n2?n?1?2
【解析】（1）若选①，根据三个数成等差数列，建立等量关系，求得a1?2，进而求得通项公式；若选②，根据S1，S2?2，S3成等差数列，建立等量关系，求得a1?2，进而求得通项公式；
?14n?21??2?2??，裂项之后求和（2）将an?2代入，求得bn?n?n?1?，2?n?n?1?2?bn??n得结果. 【详解】
（1）选①：因为a2，a3，a4?4成等差数列， 所以2a3?a2?a4?4，
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所以8a1?2a1?8a1?4，
n解得a1?2，所以an?2.
选②：因为S1，S2?2，S3成等差数列， 所以2?S2?2??S1?S3，即a2?4?a3，
n所以2a1?4?4a1，解得a1?2，所以an?2. n（2）因为an?2，
所以bn??n?1?log2an??n?1?log22?n?n?1?，
n?14n?22?2n?1?1??2?2?2??， 所以222??bnn?n?1??n?n?1???11?1???11??所以Tn?2?1?2??2?2?2??L?2?2?2 ?223n?????n?1?????111?2?1?2?2?2??223?11??2??2 n?n?1????1?2?2?1??2??2. ??n?1?2??n?1???【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有三数成等差数列的条件，等比数列的通项公式，裂项相消法求和，属于中档题目.
18．在平面四边形ABCD中，已知AB?26，AD?3，?ADB?2?ABD，
?BCD??3.
（1）求BD；
（2）求?BCD周长的最大值. 【答案】（1）BD?5（2）15
【解析】（1）设BD?x,?ABD??,则?ADB?2?,利用正弦定理求出cos??6,3第 14 页 共 22 页
6x2?24?9,x?5或x?3,最后检验即可得出结果. 在利用余弦定理cos???32?26?3BD（2）设?CBD??,利用正弦定理有
sin?3?BCCD??2??sin?,从而得出 sin?????3?BC和CD的表示方法,然后BC?CD?10sin???大值. 【详解】
??????10,即可得出?BCD周长最6?解:（1）由条件即求BD的长,在?ABD中,设BD?x,?ABD??,则?ADB?2?,
ABAD6x2?24?96?∵,∴cos??,∴cos?? ?sin2?sin?332?26?3整理得x2?8x?15?0,解得x?5或x?3. 当x?3时可得?ADB?2??∴BD?5
?2,与AD2?BD2?AB2矛盾,故舍去
BD（2）在?BCD中,设?CBD??,则
sin?3?BCCD??2??sin? sin?????3?∴BC?103?2?103?sin????,CD?sin? 33?3??103?33???sin??cos??10sin??∴BC?CD??????10 ?3?226????∴?BCD周长最大值为15. 【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理解三角形,考查三角形周长的最大值,是中档题.
19．如图①：在平行四边形ABCD中,BD?CD,BE?AD,将?ABD沿对角线BD折起,使AB?BC,连结AC,EC,得到如图②所示三棱锥A?BCD.
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2020届山东省潍坊高密市高三模拟数学试题一(解析版)
