同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1?1
1? 设A?(??? ?5)?(5? ??)? B?[?10? 3)? 写出A?B? A?B? A\\B及A\\(A\\B)的表达式?
2? 设A、B是任意两个集合? 证明对偶律? (A?B)C?AC ?BC ? ? 3? 设映射f ? X ?Y? A?X? B?X ? 证明 (1)f(A?B)?f(A)?f(B)? (2)f(A?B)?f(A)?f(B)?
4? 设映射f ? X?Y? 若存在一个映射g? Y?X? 使g?f?IX? f?g?IY? 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射? 即对于每一个x?X? 有IX x?x? 对于每一个y?Y? 有IY y?y? 证明? f是双射? 且g是f的逆映射? g?f ?1? 5? 设映射f ? X?Y? A?X ? 证明? (1)f ?1(f(A))?A?
(2)当f是单射时? 有f ?1(f(A))?A ? 6? 求下列函数的自然定义域?
111y?2y?y??1?x2y?3x?24?x2?(5)y?sinx? x (1)?? (2)1?x? (3)?(4)
y?3?x?arctan1x?? (9) y?ln(x?1)? (6) y?tan(x?1)?(7) y?arcsin(x?3)? (8) (10)
1y?ex?
7? 下列各题中? 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)?lg x2? g(x)?2lg x? (2) f(x)?x? g(x)?x2?
343g(x)?x3x?1f(x)?x?x (3)??
(4)f(x)?1? g(x)?sec2x?tan2x ? ?|sinx| |x|???3?(x)?? |x|???0 ?(?)?(?)?(??)3? 求6? 4? ?4? ?(?2)? 并作出函数y??(x) 8? 设
的图形?
? 9? 试证下列函数在指定区间内的单调性?
y?x (1)1?x? (??? 1)?
(2)y?x?ln x? (0? ??)?
10? 设 f(x)为定义在(?l? l)内的奇函数? 若f(x)在(0? l)内单调增加? 证明f(x)在(?l? 0)内也单调增加?
11? 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(?l? l)上的? 证明? (1)两个偶函数的和是偶函数? 两个奇函数的和是奇函数?
(2)两个偶函数的乘积是偶函数? 两个奇函数的乘积是偶函数? 偶函数与奇函数的乘积是奇函数?
12? 下列函数中哪些是偶函数? 哪些是奇函数? 哪些既非奇函数又非偶函数？
(1)y?x2(1?x2)? (2)y?3x2?x3?
y?1?x2 (3)1?x?
2 (4)y?x(x?1)(x?1)? (5)y?sin x?cos x?1?
x?xy?a?a2 (6)
13? 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数? 指出其周期? (1)y?cos(x?2)??
(2)y?cos 4x? (3)y?1?sin ?x? (4)y?xcos x? (5)y?sin2x?
14? 求下列函数的反函数?
3 (1)y?x?1错误！未指定书签。错误！未指定书签。?
y?1?x (2)1?x错误！未指定书签。??
y?ax?bcx?d(ad?bc?0)? ? (3)
(4) y?2sin3x? ?
(5) y?1?ln(x?2)?
x2y?x2?1? (6)
15? 设函数f(x)在数集X上有定义? 试证? 函数f(x)在X上有界的充分必要条
件是它在X上既有上界又有下界?
16? 在下列各题中? 求由所给函数复合而成的函数? 并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值?
x1??x2??6? 3? (1) y?u2? u?sin x?
x1??x2??8?4?? (2) y?sin u? u?2x?
(3)y?u? u?1?x2? x1?1? x2? 2??
(4) y?eu? u?x2? x1 ?0? x2?1?
(5) y?u2 ? u?ex ? x1?1? x2??1?
17? 设f(x)的定义域D?[0? 1]? 求下列各函数的定义域? (1) f(x2)? ? (2) f(sinx)
(3) f(x?a)(a>0)??
(4) f(x?a)?f(x?a)(a?0)?
|x|?1?1 ?f(x)??0 |x|?1?|x|?1??1 18? 设? g(x)?ex 错误！未指定书签。? 求f[g(x)]和g[f(x)]? 并
作出这两个函数的图形?
19? 已知水渠的横断面为等腰梯形? 斜角??40?(图1?37)? 当过水断面ABCD的面积为定值S0时? 求湿周L(L?AB?BC?CD)与水深h之间的函数关系式? 并指明其定义域? 图1?37 ? ?
20? 收敛音机每台售价为90元? 成本为60元? 厂方为鼓励销售商大量采购? 决定凡是订购量超过100台以上的? 每多订购1台? 售价就降低1分? 但最低价为每台75元?
(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数? (2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数? (3)某一商行订购了1000台? 厂方可获利润多少？ 习题1?2
1? 观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势? 写出它们的极限?
xn?1n2?? (1)
xn?(?1)n1n?? (2)
xn?2?12n? (3)
xn?n?1n?1?? (4)
(5) xn?n(?1)n?
cosn?2xn?limxnnn 2? 设数列{xn}的一般项? 问???? 求出N? 使当n?N时?
xn与其极限之差的绝对值小于正数? ? 当? ?0?001时? 求出数N?
3? 根据数列极限的定义证明?
lim1?02n??n (1)? lim3n?1?3 (2)n??2n?12?
22n?alim?1n??n (3)?
????n???n个(4)
lim0.999 ? ? ? 9?1?
4?
limu?an??n? lim|un|?|a|证明n??? 并举例说明? 如果数列{|xn|}有极限? 但数列
{xn}未必有极限?
limyn?0n又???
limxnyn?0 5? 设数列{xn}有界? 证明?
n???
6? 对于数列{xn}? 若x2k?1?a(k??)? x2k ?a(k ??)? 习题1?3
1? 根据函数极限的定义证明? (1)x?3 ? (2)x?2 ?
2limx?4??4 (3)x??2x?2?
lim(3x?1)?8?
lim(5x?2)?12?
?
31?4xlim?212x?1x??2 (4)?
2? 根据函数极限的定义证明?
31lim1?x?32? (1)x??2x
limsinx?0x???x (2)?
3? 当x?2时? y?x2?4? 问?等于多少? 使当|x?2|
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