[ 高2024届高三学业质量调研抽测（第二次）
文科数学试题卷
文科数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分.
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．作答时，务必将答案写在答题卡相应的位置上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷、答题卡一并收回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
请将正确答案的代号填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合A?{x|x?2x?3?0},B?{x|log2x?1}，则A?B?
2??) B．(2,3] C．[?1,3] D. [?1,??) A．(2，2. 欧拉公式e?cosx?isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指 数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里 非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，eA．第一象限
B．第二象限
7πi5ix表示的复数位于复平面中的
C．第三象限 D．第四象限
3. 在停课不停学期间，某学校组织高三年级学生参加网络数学测试，测试成绩的频率分布直方图如下图，测
试成绩的分组为[10,30),[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),
[110,130),[130,150],若低于70分的人数是175人，则该校高三年级的学生人数是
A．350 B．500 C．600
0.015 0.0125 0.01 0.0075 0.005 0.0025 10 30 50 70 90 110 150 130 成绩(分) 频率 组距 (第3题图)
D．1000
4．已知点(2,)在幂函数f(x)?x的图象上，设a?f(则a，b，c 的大小关系为
18n32)，b?f(lnπ)，c?f()， 32
2?2?,cos)落在角?的终边上，且??，则?的值为 （0，2?）33?2?5?11?A． B． C． D．
3336
26. 已知p:x?k，q:?1，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是
x?15. 已知点P(sinA．[1,??)
B．(1,??)
A．b?a?c B．a?b?c C．b?c?a D．a?c?b
C．(??,?1] D．(??,?1)
7. 某街道招募了志愿者5人，其中1人来自社区A，2人来自社区B，2人来自社区C．现从中随机选取2个志愿者
参加抗击新型冠状病毒活动，则这2人来自不同社区的概率为 A．
3 5 B．
3 4 C．
7 10 D．
4 58. 已知函数f(x)?小值为
3sin?x?cos?x(??0), f(x1)?2, f(x2)??2,且|x1?x2|最
π,若将y?f(x)的图象沿x轴向左平移?(??0)个单位，所得图象关于原点对 2称，则实数?的最小值为
A.
?12 B.
? 6 C.
? 3 D.
7? 12y?5的最大值为 x?411A．? B．?2 C． D．2
22210. 已知抛物线C:y?4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线C交于M，N两点，若
uuuruuurPF?4MF，则|MN|?
39A． B．3 C． D．9
22?(3a?4)x?2a,x?111. 已知f(x)??对任意x1，x2?(??,??)且x1?x2，都有
logx,x?1?af(x1)?f(x2)?0，那么实数a的取值范围是
x1?x244A．(1,??) B．(0,1) C．(,2] D．(,4]
339. 设实数x、y满足y??4?x2?2x，则12. 两球O1和O2在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点
面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为 A．3(2?3)? B．4(2?3)? C．6(2?3)? D．12(2?3)?
A的正方体的三个
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．
rrrrrrrrr13. 设非零向量a,b满足a?(a?b)，且|b|?2|a|，则向量a与b的夹角为________．
14. 在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h(单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系式
h??4.9t2?6.5t?10，则该运动员在t?2时的瞬时速度是 (m/s)．
15. 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若acosBsinC?bcosAsinC?c，
则△ABC外接圆的面积是 ．
2x2y216. 已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，一条渐近线为l，过点F2且与l平行的
ab直线交双曲线C于点M,若|MF1|?2|MF2|,则双曲线C的离心率为 ．
三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17
题:第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题:第23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分． 17.（本小题满分为12分）
一奶茶店制作了一款新奶茶，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x（元）与销量y（杯）的相关数据如下表：
单价x（元） 销量y（杯） 8.5 120 9 110 9.5 90 10 70 10.5 60 （Ⅰ）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）若该款新奶茶每杯的成本为7.7元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单价定为多少
元时，销售的利润最大？（结果保留到整数）
??a?中斜率和截距最小二乘法估计计算公式： 参考公式：线性回归方程y?bx$?b?xy?nxyiii?1nn?xi2?nxi?12$?y?bx$，参考数据：xy?4195，x2?453.75． ，a?ii?ii?1i?155
18．（本小题满分为12分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1?1，an?1?2Sn?1． （Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn?log3(an?an?1)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：
19.（本小题满分为12分）
如图，平面ABCD?平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为直角梯形，AF∥DE，AF?FE，
111??...??2． T1T2TnAF?2EF?2DE?2．
（Ⅰ）求证：FD?平面ABCD； （Ⅱ）若三棱锥B?ADF的体积为
1， 3求点A到面BDF的距离．
（第19题图）
20.（本小题满分为12分）
已知函数f(x)?e?ax(a?R)，g(x)?elnx．(e为自然对数的底数)
xx（Ⅰ）若对于任意实数x?0，f(x)?0恒成立，试确定a的取值范围；
（Ⅱ）当a??1时，函数M(x)?g(x)?f(x)在[1,e]上是否存在极值?若存在，请求出这个极值；若不存在，
请说明理由．
21.（本小题满分12分）
22已知圆C:(x?2)?y?24与定点M(2,0)，动圆I过M点且与圆C相切，
记动圆圆心I的轨迹为曲线E． （Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）斜率为k的直线l过点M,且与曲线E交于A,B两点，P为直线x?3上的一点，若?ABP为等边三角形，
求直线l的方程.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分）
?2x?2?t??2（t为参数）
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?，以坐标原点O为极点，x轴的
?y?2t??2
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ?sin（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点M的直角坐标为(2,0)，直线l和曲线C交于A、B两点，求
23.【选修4-5：不等式选讲】(本小题满分10分）
已知f(x)?2x?a.
22??8cos?．
11?的值． |MA||MB|
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