.
时两平面的夹角 解 平行
1a3?? ?a=2 2?46 垂直相交1.2+（-4）a+3.6=0 ?a=5 相交但不垂直a ?-2且a ?5
cos? =
10?2a10?a214 题型3 求点到平面的距离
解题注意事项：要记清点到平面的距离公式 例4求点（1，2，-1）到平面x-3y-z=15的距离 解d=1?3?2?1?(?1)?1512?32?12=
19 11四 同步自测练习题
1 求平行于平面4x-y-+z+5=0且与三个坐标面构成的四面体的体积为9的平面
2在过平面2x+y-3z+2=0与5x+5y-4z+3=0得交线的平面集中，求两个相互垂直的平面，其中一个平面过点（4，-3，1）
3求两个平面19x-4y+8z+21=0 与19x-4y+8z+42=0的距离 参考答案与提示
1. 4x-y+z+6=0或4x-y+z-6=0
2过点（4，-3，1）的平面3x+4y-z+1=0与它垂直的平面x-2y-5z+3=0 3.1
第六节空间直线及其方程
一知识点 重点及难点 知识点：
（1） 空间直线的点向式（对称式标准式）方程（向量平行的应用）
rrr直线L的方向向量S与直线L平行的非零向量S，S的方向余弦称为直线L的方向余弦
设直线L上定点为M（x0,y0,z0）直线L的方向向量S=(m,n,p)则直线方成为
x?x0y?y0z?z0?? mnp（2） 空间直线的参数与方程
直线上定点M（x0,y0,z0）直线L的方向向量
S=(m,n,p)则直线的参数方成
?x?x0?mt??y?y0?nt ?z?z?pt0?（3） 空间直线的一般方程
直线L可以看做平面?1A1x?B1y?C1z?D2?0与?2A2x?B2y?C2z?D2?0 .
.
的交线即直线L的方程为 A1x?B1y?C1z?D2?0 A2x?B2y?C2z?D2?0
n1=(A1,B1,C1) n2=(A2,B2,C2)为?1与?2的法线向量则直线L与
n1n2，
都垂直
S为L的方向向量，则S=n1?n2
（4） 空间直线的两点式方程
直线上的两个点M1(x1,y1,z1) M2(x2,y2,z2)则直线的两点式方程为
x?x1y?y1z?z1??
x2?x1y2?x1z2?z1（5） 两直线昂之间的位置关系
直线L1其上定点M1(x1,y1,z1)方向向量s1?(m1,n1,p1)方程
rx?x1y?y1z?z1?? m1n1p1x?x1y?y1z?z1?? m2n2p2直线L2其上定点M2(x2,y2,z2)方向向量s2?(m2n2p2) 方程
r则两直线L1与L2的夹角?：两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）
cos?= cos?s1,s2?rrs1.s2= rr=
s1.s2m1m2?n1n2?p1p2m?n?p212121m?n?p222222
两直线L1与L2平行：L1 ∥ L2 ?s1 ∥s2rr?m1n1p1?? m2n2p2两直线L1与L2垂直：L1 ? L2 ?s1rr??sm1m2?n1n2?p1p2?0 2两直线L1与L2重合：M1M2∥s1∥s2
rr两直线L1与L2共面：M1M2.(s1?s2)?0即
rrm1m2x2?x1m1m2x2?x1n1n2y2?y1n1n2y2?y1p1p2?0z2?z1p1p2z2?z1?0
两直线L1与L2异面：M1M2.(s1?s2)?0即
两直线L1与L2相交：L1与L2共面且不平行
rr .
.
(6)直线与平面之间的位置关系
x?x0y?y0z?z0r??，L上的定点M（x0,y0,z0）方向向量s=(m,n,p) 平面?：mnprAx+By+Cz+D=0法向量n=（A,B,C）直线L与平面?的夹角?：直线L和它在平面?上的
直线L：投影直线的夹角（通常指锐角）
rrs.nrrcos?= cos?s,n?= rr=
s.nA1m?B1n?CpA?B?C212121m?n?p222
直线L 与平面?平行（不在平面上）：Am+Bn+Cp=0 Ax0?By0?Cz0?D?0 直线L 在平面?上： Am+Bn+Cp=0 Ax0?By0?Cz0?D?0 直线L 与平面?垂直：
ABC?? mnp直线L 与平面?相交：Am+Bn+Cp ?0
(7)过空间直线的平面集方程 过直线L：A1x?B1y?C1z?D2?0
A2x?B2y?C2z?D2?0 的平面集方程为?（A1x?B1y?C1z?D1）+?（A2x?B2y?C2z?D2）=0 其中?，
? 不全为零
x?x1y?y1z?z1??的距离公式 mnp（8）点到空间直线的距离公式
点M0（x0,y0,z0）到直线L:
rM1(x1,y1,z1) 为直线L 上的点s=(m,n,p)为L的方向向量
rxx1?x0mryy1?y0nm?n?p22rM1M2?S?d=rSrkz1?z0p2
2重点：
直线方程的确定及直线与平面的关系 3难点：
利用直线与平面关系确定所求解的问题
.
.
二，主要题型 1求直线方程
2直线各方程之间的转化 3确定直线之间的位置关系
4确定直线与平面之间的位置关系 5求交点，投影问题 6求点到直线之间的距离 7综合题型
三，典型例题解析
题型1 求直线方程（关键找一定点及方向向量）
解题思路：1，若求过一定点且与一直线平行的直线方程，所求直线的方向向量就取为已知
直线的方向向量
2，若求过一定点且与一平面垂直的直线方程，所求直线的方向向量就取为已知
平面的法线向量
3，若求过定点且与两直线垂直的直线方程，所求直线的方向向量就取为已知两
直线的方向向量的向量积
4，若求过定点且与已知直线垂直，与一平面平行的直线方程，所求直线的方向
向量就取为已知直线的方向向量与已知平面的法线向量的向量积 5，也可设出所求直线的方向向量s=(m,n,p)利用所求直线与已知直线平面关系
来确定方向向量中的参数 例1 求过点（-1，2，3）平行于平面2x+3y+4z+7=0且垂直于直线解 法1取s=(2,3,4) ? (3,4,5)=(-1,2,1)
rrxyz??的直线方程 345x?1y?2z?3 ???12?1rrr法2取s=(m,n,p) 则s ? (2,3,4) s ? (3,4,5)
所求直线为
?2m?3n?4p?0?2m??n ???3m?4n?5p?0m?p??故所求直线为
x?1y?2z?3 ??1?21x?1yz?2 相交的直??2?11例2 求过点（2，-1，3）平行于平面3x-2y+z+5=0 且与直线线方程
解 法1设s=(m,n,p) 则s ? (3,-2,1)即3m-2n+p=0
所求直线与已知直线相交即共面，因此
rrm2n?1p1?0 ?-4m-9n-p=0 ?m=-11n,p=35n
2?1?1?03?2x?2y?1z?3?? 11?135rr法2设s=(m,n,p) 则s ? (3,-2,1)即3m-2n+p=0
所求直线为
.
.
?x?mt?2?所求直线与已知直线相交，故满足所求直线的参数方程?y?nt?1 满足已知直线方程
?z?pt?3?即
所求直线为
mt?2?1nt?1pt?3?2111?35 ??(t?0)?m= n= p=
2?119t9t9tx?2y?1z?3 ??11?1?35题型2直线各方程之间的转化
解题注意事项：记清直线各式之间关系 例3将直线的一般方程?解s=(2,-4,1) ? (1,3,5)=(-3,1,10)
在直线上任取一点，令y=0 则x=-5,z=11 所求对称式方程为
r?2z?4y?z?1?0 转化为对称式和参数式方程
x?3y?5?0?x?5yz?11 ???3110?x??3t?5?参数式方程为?y?t
?z?10t?11?题型3确定直线之间的位置关系
解题注意事项1记清直线之间位置关系的公式
例4确定空间三直线之间的位置关系，三直线位置关系如下
?x?3tx?3y?4z?L1 ?? L2 ?y?3t?1 L3
?2?53?z?7t?2?r?x?2y?z?1?0 ?2x?y?z?0?LI: 方向向量 s1=（-2，-5，3） 定点为M1=（-3，-4，0） L2: 方向向量 s2=（3，3，7） 定点为M2=（0，-1，2） L3: 方向向量 s3=（1，1，3） 定点为M3=（0，-1，1）
rrL1与L2：M1M2 (s1?s2)?rr?23?5337??45?0
0?3?1?42rrs1.s2= ?2?3?5?3?3?7?0 ? L1与L2异面垂直
.
空间解析几何与向量代数
