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第七章 空间解析几何与向量代数 第一节 向量及其线性运算 一 知识点、重点及难点 1. 知识点:
(1) 向量的概念
向量:既有大小,又有方向的量(又称矢量).
向量的表示:以A为起点,B为终点的有向线段AB,或a.数学上只研究与起点无关的自由向量.
向量的模:向量的大小.向量a?AB的模记作a?AB. 单位向量:模等于1的向量叫做单位向量.记作e.
?????零向量:模等于0的向量叫做零向量.记作0
零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的.
负向量:与向量a的模相同而方向相反的向量,即?a. 向量相等:a与b大小相等,方向相同,记作a?b.
??????????????向量平行:a与b方向相同或相反,记作a∥b.a与b平行,又称a与b共线.
(2) 向量的线性运算
1. 向量的加法:平行四边形法则,三角形法则
????运算规律:交换律 a?b?b?a
?????? 结合律 (a?b)?c?a?(b?c)
???? 向量的减法:a?b?a?(?b)
2.向量与数的乘法:实数?与向量a的乘积是一个向量,记作?a.其大小为?a?
????a? 方向当??0时,当??0时,当??0?a与a同向:?a与a反向;
? 时,?a?0,方向是任意的.
???? 运算规律:结合律 ?(?a)??(?a)?(??)a
??????????分配律 (???)a??a??a;?(a?b)??a??b.
??a ??ea表示与a同方向的单位向量. a
????? 若a?0则a∥b?存在唯一的实数?,使b??a
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(3)空间直角坐标系:在空间取定一点O(原点)和过原点三个两两垂直的数轴,构成一
个空间直角坐标系.三个坐标轴的正向符合右手法则,即以右手握住
z轴,当右手的四个手指从正向x轴以
?角度转向y轴时,大拇指2的指向就是z轴的正向.三个坐标面xOy面、yOz面、zOx面将空间分成八个卦限,含有x轴、轴、z轴。正半轴的卦限叫第一卦限,其他第二、第三、第四卦限在xOy面上方,按逆时针方向确定,第五至第八卦限在xOy面下方,第一卦限之下是第五卦限,按逆时针方向确定其他卦限。这八个卦限分别用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示。
设点M在空间直角坐标系的坐标为(x,y,z)则向量
????r?OM?xi?yj?zk或表示为(x,y,z),即(x,y,z)既是向量
OM的坐标,也是M的坐标。
(4)向量的坐标运算:
设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)则向量M1M2?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)
??向量a?(ax,ay,az),b?(bx,by,bz)则 ??a?b?(ax?bx,ay?by,az?bz) ??a?b?(ax?bx,ay?by,az?bz)
?a?(?ax,?ay,?az)
?bxbybz?????若a?0则a∥b?唯一???R,b??a? ??axayaz?
(5)向量的模﹑方向角﹑投影
ⅰ)向量的模
若向量r?(x,y,z)则r?
??x2?y2?z2
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)则AB?ⅱ)方向角与方向余弦
(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2
????作OA?a,OB?b,称???AOB,(0????)为向量a与b的夹角,记作
????(a,b)??或(b,a)??
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???? 方向角: r?(x,y,z)?0,r与三个坐标轴的夹角?,?,?称为向量r的方向角。
cos????xrxx?y?z222
cos????yryx?y?z222
cos????zrzx?y?z222
xyzr?(cos?,cos?,cos?)?(?,?,?)???er
rrrrcos2??cos2??cos2??1
)向量的投影
向量a在u轴上的投影:Prju?acos(a,u)或记作(r)u
x a?(ax,ay,az)在x,y,z轴上的投影: Prjx?a?cos??a???ax
???????aa
Prjy?a?cos??a???ay
??aya
z Prjz?a?cos??a???az
??aa????(a?b)u?(a)u?(b)u
??(?a)u??(a)u
2. 重点:
向量的概念,向量的线性运算,向量的模,方向角,投影。 3. 难点:
向量的线性运算的坐标表示,向量的方向角,投影。 二.主要题型
1.与向量的概念,线性运算有关的习题。 2.综合题型。 三.典型例题解析
例1 设已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2),计算向量M1M2的模,方向余弦和方向角。
解 M1M2?(3?4)2?(0?2)2?(2?1)2?2
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M1M2?(3?4,0?2,2?1)?(?1,?2,1)
方向弦为cos??方向角分别为??
?1121??,cos???,cos?? 222223??,???,?? 343?例2 设向量r的模是4,它与轴u的夹角是60,求r在u轴上的投影。 解 已知r?4,Prju?r?cos??4?cos60?4??????1?2 2四 同步自测练习题
1.向量与x轴和y轴夹角相等,而与z轴组成的角是它们的二倍,那么这个向量的方向角
?,?,?各为多少?
参考答案与提示
1.??
第二节 数量积 向量积 混合积
一.知识点、重点、及难点 1. 知识点:
?8,???8,???4 或??333?,???,??? 884??????ⅰ定义:a?b?a?bcos?,??(a,b),运算结果是一个数。 ????ⅱ 性质:交换律:a?b?b?a
??????? 结合律:(a?b)?c?a?c?b?c ???? 数乘律:(?a)?b??(a?b),?为实数。
???2a?a?a
????a?b?a?b?0
?? ⅲ 坐标表示 :a?(ax,ay,az),b?(bx,by,bz)
??a?b?axbx?ayby?azbz
???axbx?ayby?azbz?a?b cos??cos(a,b)????222222a?bax?ay?az?bx?by?bz????a?b?a?b?0?axbx?ayby?azbz?0
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(2)向量积:
????????????ⅰ 定义:a?b?c,c?absin?,??(a,b);c的方向垂直于a与b决定的平面,c
a?的指向按右手规则,从?转向b来确定。
? b?a???a??b?ⅱ 性质:负交换律
分配律 (a??b?)?c??a??c??b??c?
数乘律 (?a?)?b??a??(?b?)??(a??b?),?为实数。。
a??a???0
a?b?∥?a??b???0
a??b?等于a??与b为邻边的平行四边形的面积,或者说以a??与b
为邻边的三角形的面积的2倍。
ⅲ 坐标表示:a??(a?x,ay,az),b?(bx,by,bz) ??jk? a??b?i?axaa)?i?(a??(a?yz?(aybz?azbyzbx?axbz)jxby?aybx)k bxbybz a?? ∥b? a??b???0?axayazb?? xbybz(3)混合积
ⅰ 定义:?a?b?c???(a??b?)?c? 结果为一个数。
ⅱ 性质: ?a?b?c???(a??b?)?c?等于以a??,b,c?为棱的平行六面体的体积。
a??,b,c?共面??a?b?c???(a??b?)?c??0
?a?b?c????b?c?a????c?a?b?????a?c?b?????b?a?c?????c?b?
2. 重点:
向量的数量积、向量积、混合积的定义与应用。 3. 难点:
数量积、向量积、混合积的应用。
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a??
空间解析几何与向量代数
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