空间解析几何与向量代数

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第七章 空间解析几何与向量代数 第一节 向量及其线性运算 一 知识点、重点及难点 1. 知识点：

（1） 向量的概念

向量：既有大小，又有方向的量（又称矢量）.

向量的表示：以A为起点，B为终点的有向线段AB，或a.数学上只研究与起点无关的自由向量.

向量的模：向量的大小.向量a?AB的模记作a?AB. 单位向量：模等于1的向量叫做单位向量.记作e.

?????零向量：模等于0的向量叫做零向量.记作0

零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的.

负向量：与向量a的模相同而方向相反的向量，即?a. 向量相等：a与b大小相等，方向相同，记作a?b.

??????????????向量平行：a与b方向相同或相反，记作a∥b.a与b平行，又称a与b共线.

（2） 向量的线性运算

1. 向量的加法：平行四边形法则，三角形法则

????运算规律：交换律 a?b?b?a

?????? 结合律 (a?b)?c?a?(b?c)

???? 向量的减法：a?b?a?(?b)

2.向量与数的乘法：实数?与向量a的乘积是一个向量，记作?a.其大小为?a?

????a? 方向当??0时，当??0时，当??0?a与a同向：?a与a反向；

? 时，?a?0，方向是任意的.

???? 运算规律：结合律 ?(?a)??(?a)?(??)a

??????????分配律 (???)a??a??a;?(a?b)??a??b.

??a ??ea表示与a同方向的单位向量. a

????? 若a?0则a∥b?存在唯一的实数?，使b??a

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（3）空间直角坐标系：在空间取定一点O（原点）和过原点三个两两垂直的数轴，构成一

个空间直角坐标系.三个坐标轴的正向符合右手法则，即以右手握住

z轴，当右手的四个手指从正向x轴以

?角度转向y轴时，大拇指2的指向就是z轴的正向.三个坐标面xOy面、yOz面、zOx面将空间分成八个卦限，含有x轴、轴、z轴。正半轴的卦限叫第一卦限，其他第二、第三、第四卦限在xOy面上方，按逆时针方向确定，第五至第八卦限在xOy面下方，第一卦限之下是第五卦限，按逆时针方向确定其他卦限。这八个卦限分别用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示。

设点M在空间直角坐标系的坐标为(x,y,z)则向量

????r?OM?xi?yj?zk或表示为(x,y,z)，即(x,y,z)既是向量

OM的坐标，也是M的坐标。

(4)向量的坐标运算：

设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)则向量M1M2?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)

??向量a?(ax,ay,az),b?(bx,by,bz)则 ??a?b?(ax?bx,ay?by,az?bz) ??a?b?(ax?bx,ay?by,az?bz)

?a?(?ax,?ay,?az)

?bxbybz?????若a?0则a∥b?唯一???R,b??a? ??axayaz?

（5）向量的模﹑方向角﹑投影

ⅰ）向量的模

若向量r?(x,y,z)则r?

??x2?y2?z2

若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)则AB?ⅱ）方向角与方向余弦

(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2

????作OA?a,OB?b，称???AOB,(0????)为向量a与b的夹角，记作

????(a,b)??或(b,a)??

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???? 方向角: r?(x,y,z)?0,r与三个坐标轴的夹角?,?,?称为向量r的方向角。

cos????xrxx?y?z222

cos????yryx?y?z222

cos????zrzx?y?z222

xyzr?(cos?,cos?,cos?)?(?,?,?)???er

rrrrcos2??cos2??cos2??1

)向量的投影

向量a在u轴上的投影：Prju?acos(a,u)或记作(r)u

x a?(ax,ay,az)在x,y,z轴上的投影: Prjx?a?cos??a???ax

???????aa

Prjy?a?cos??a???ay

??aya

z Prjz?a?cos??a???az

??aa????(a?b)u?(a)u?(b)u

??(?a)u??(a)u

2. 重点：

向量的概念，向量的线性运算，向量的模，方向角，投影。 3. 难点：

向量的线性运算的坐标表示，向量的方向角，投影。 二．主要题型

1.与向量的概念，线性运算有关的习题。 2.综合题型。 三．典型例题解析

例1 设已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2)，计算向量M1M2的模，方向余弦和方向角。

解 M1M2?(3?4)2?(0?2)2?(2?1)2?2

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M1M2?(3?4,0?2,2?1)?(?1,?2,1)

方向弦为cos??方向角分别为??

?1121??,cos???,cos?? 222223??,???,?? 343?例2 设向量r的模是4，它与轴u的夹角是60，求r在u轴上的投影。 解 已知r?4，Prju?r?cos??4?cos60?4??????1?2 2四 同步自测练习题

1.向量与x轴和y轴夹角相等，而与z轴组成的角是它们的二倍，那么这个向量的方向角

?,?,?各为多少？

参考答案与提示

1.??

第二节 数量积 向量积 混合积

一．知识点、重点、及难点 1. 知识点：

?8,???8,???4 或??333?,???,??? 884??????ⅰ定义：a?b?a?bcos?,??(a,b)，运算结果是一个数。 ????ⅱ 性质：交换律：a?b?b?a

??????? 结合律：(a?b)?c?a?c?b?c ???? 数乘律：(?a)?b??(a?b)，?为实数。

???2a?a?a

????a?b?a?b?0

?? ⅲ 坐标表示 ：a?(ax,ay,az)，b?(bx,by,bz)

??a?b?axbx?ayby?azbz

???axbx?ayby?azbz?a?b cos??cos(a,b)????222222a?bax?ay?az?bx?by?bz????a?b?a?b?0?axbx?ayby?azbz?0

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（2）向量积：

????????????ⅰ 定义：a?b?c,c?absin?,??(a,b)；c的方向垂直于a与b决定的平面，c

a?的指向按右手规则，从?转向b来确定。

? b?a???a??b?ⅱ 性质：负交换律

分配律 (a??b?)?c??a??c??b??c?

数乘律 (?a?)?b??a??(?b?)??(a??b?)，?为实数。。

a??a???0

a?b?∥?a??b???0

a??b?等于a??与b为邻边的平行四边形的面积，或者说以a??与b

为邻边的三角形的面积的2倍。

ⅲ 坐标表示：a??(a?x,ay,az)，b?(bx,by,bz) ??jk? a??b?i?axaa)?i?(a??(a?yz?(aybz?azbyzbx?axbz)jxby?aybx)k bxbybz a?? ∥b? a??b???0?axayazb?? xbybz（3）混合积

ⅰ 定义：?a?b?c???(a??b?)?c? 结果为一个数。

ⅱ 性质: ?a?b?c???(a??b?)?c?等于以a??，b,c?为棱的平行六面体的体积。

a??，b,c?共面??a?b?c???(a??b?)?c??0

?a?b?c????b?c?a????c?a?b?????a?c?b?????b?a?c?????c?b?

2. 重点：

向量的数量积、向量积、混合积的定义与应用。 3. 难点：

数量积、向量积、混合积的应用。

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