高考数学复习优质最新专题学案（经典考点附详解）
正弦定理、余弦定理及解三角形
知识梳理
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A； 内容 abc＝＝＝2R sin Asin Bsin Cb2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝cos A＝2Rsin C； b2＋c2－a2； 2bcab(2)sin A＝，sin B＝，sin C2R2Rcos B＝变cc2＋a2－b2＝； 形 2R； 2ac(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin cos C＝C； a2＋b2－c2 2ab(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin 高考数学复习优质最新专题学案（经典考点附详解）
B，asin C＝csin A 2.三角形面积公式：
1
S△ABC＝ ah(h表示边a上的高) ；
2111
S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
222abc
S△ABC＝；
4R
1
S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、
2r.
3．三角形解的判断
在△ABC中，已知a、b和A时，三角形解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系a＝bsin 式 解的 个数
A 一解 bsin a≥b a>b A 典例剖析 题型一 利用正弦定理解三角形 1 例1 在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝________. 3 5 答案 9abbsin A 解析 在△ABC中，由正弦定理＝，得sin B＝＝ sin Asin Ba1 5× 35＝. 39 变式训练 在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝________． 答案 23 2 32× 2ACBCBC·sinB 解析 在△ABC中，＝，∴ AC＝＝＝sinBsinAsinA3 223. 解题要点 如果已知两边一角或是两角一边解三角形时，通常用正弦定理． 题型二 利用余弦定理解题 例2 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2π ＝(a－b)＋6，C＝，则△ABC的面积是________. 3 2 高考数学复习优质最新专题学案（经典考点附详解） 33答案 2解析 ∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① ππ222 ∵C＝，∴c＝a＋b－2abcos ＝a2＋b2－ab.② 33由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6. 11333∴S△ABC＝absin C＝×6×＝. 2222 9 变式训练 在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cos C＝，则10BC＝ . 答案 4或5 解析 设BC＝x，则由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C9得5＝25＋x－2·5·x·，即x2－9x＋20＝0，解得x＝4或x＝5. 10 2 解题要点 如果已知两边一角或是已知三边解三角形时，通常用余弦定理． 题型三 综合利用正余弦定理解题 例3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知(b－2a)cos C＋ccos B＝0. (1)求C； (2)若c＝7，b＝3a，求△ABC的面积． 解析 (1)由已知及正弦定理得：(sin B－2sin A)cos C＋sin Ccos B＝0，sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Acos C， 高考数学复习优质最新专题学案（经典考点附详解） sin(B＋C)＝2sin Acos C，∴sin A＝2sin Acos C. 1 又sin A≠0，得cos C＝. 2π 又C∈(0，π)，∴C＝. 3 22??a＋b－ab＝7， (2)由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C，∴? ??b＝3a， 解得a＝1，b＝3. 11333 故△ABC的面积S＝absin C＝×1×3×＝. 2224 变式训练 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝3acos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． ab 解析 (1)由bsin A＝3acos B及正弦定理＝，得sin B＝ sin Asin B3cos B. π 所以tan B＝3，所以B＝. 3 ac (2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a. sin Asin C 由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝3，c＝23.
正弦定理、余弦定理及解三角形
