考研 线性代数值特征向量
笔记精华特征
线代框架之特征值与特征向量
1.定义：设A是n阶矩阵，如果存在一个数?及非零的n维列向量?，使得A?=??成立，则称?是矩阵A的一个特征值，称非零向量?是矩阵A属于
特征值?的一个特征向量。A 的特征矩阵 ?E?A.A的特征多项式 ?E?A?f(?).A的特征方程 ?E?A?0
计算特征值的方法：由A?=??，??0有（?E-A）?=0，??0??是齐次方程组（?E-A）x=0的非零解。
（1）先由|?E-A|=0求矩阵A的特征值?（共n个即几阶矩阵有几个，注意：算出的值用?????检验，以免计算错误）
iiii（2）再由|?E-A|x=0求基础解系，即矩阵A属于特征值?的线性无关的特征向量。
ii性质：（1）如果?,?,...?都是矩阵A的属于特征值?的特征向量，那么当k?12t1?k?2?...?k?t非零时，k?1?k?2?...?k?t仍是矩阵A属于特征值?的特征向量12
（2）设A是n阶矩阵，?,?,...?是矩阵A的特征值，则(1)?????;(2)|A|??? （3）如果?,?,...?是矩阵A的互不相同的特征值，?,?,...?分别是与之对应的特征向量，则?,?,...?miiii12m12m12m线性无关。
（4）
如果A是n阶矩阵，?i是A的m重特征值，则属于?i的线性无关的特征向量的个数不超过m个一般地，A为n阶矩阵，R（A）=1，|?E?A|???(??ii）?i?1nnn-1
常用结论：（1）
注意，上三角，下三角，对角矩
阵的特征值就是矩阵主对角线上的元素。
?kA?aA?bE??AT??1?A?是A的特征值,则:??A??A2?m?A??1?PAP2mk? a??b ? 分别有特征值123?m ? k? ?kA?a??b ?aA?bE1?1?? ?A?是A关于?的特征向量,则?也是?关于的特征向量1?A?1?2?3?A????A???2?A ????2 ?mm?2 A? ??注意：P?1?才是P?1AP关于?的特征向量T
注：A,A的特征向量不一定是A的特征向量. （反过来则成立）A与A有相同的特征值，但特征向量不一定相同.
常用结论（2）是计算特征值的特殊方法——间接法的依据，利用相关联矩阵的特征值、特征向量之间的关系求解，计算量小 2.定义：设A和B都是n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P-1AP?B，则称矩阵A和B相似，记作A~B。
相似矩阵的性质： ①?E?A??E?B（即A,B有相同的特征多项式和特征值）注：特征向量不
?1一定相同，x是A关于?的特征向量,Px是B关于?的特征向量
00② A?B，从而A,B同时可逆或不可逆 ③ r(A)?r(B) ④?????
iiiii?1i?1nn⑤f(A)~f(B)，
f(A)?f(B)
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