1．下列试验中，是古典概型的有( ) A．种下一粒种子观察它是否发芽
B．从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d C. 抛一枚硬币，观察其出现正面或反面 D．某人射击中靶或不中靶
解析：选C.由于出现正面与反面是等可能的．
2．同时抛掷两颗骰子，则下列命题正确的是( )
A．“两颗点数都是5”的概率比“两颗点数都是6”的概率小 B．“两颗点数都是1”的概率最小
1
C．“两颗点数相同”的概率是
6
D．“两颗点数之和为6”的概率不大于“两颗点数都为5”的概率
解析：选C.同时抛掷两颗骰子，所有可能的基本事件共有36个，且每一个基本事件发生的可能性相同．而“两颗点数相同”包含(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)这6
1
个基本事件，所以概率为.故选C.
6
3．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有1,2,3,4,5,6，将这个玩具先后抛掷两次，则“向上的数之和是5”的概率是( ) 11A. B. 9611C. D. 123
41
解析：选A.(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)，P＝＝.
6×69
4．(2024年高考江苏卷)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．
解析：从1,2,3,4中任取两个数的组合个数为6，满足一个数是另一个数的两倍的组合为
21
{1,2}，{2,4}，故P＝＝.
63
1答案：
3
5．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取一张卡片，则取得的卡号是7的倍数的概率是________．
解析：7的倍数用7n(n∈N＋)表示，则7n≤100，解得n≤14，即在100以内有14个是7的
147
倍数，所以所求概率为＝.
10050
7
答案：
50一、选择题
1．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人都被录取的概率为0.42，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( ) A．0.12 B．0.42
C．0.46 D．0.88 答案：D
2．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( ) 11A. B. 18028811C. D. 360480
解析：选C.当“时”的两位数字的和小于9时，则“分”的那两位数字的和要求超过14，这是不可能的．所以只有“时”的和为9(即“09”或“18”)，“分”的和为14(“59”)；或者“时”的和为10(即“19”)，“分”的和为13(“49”或“58”)．共计有4种情况．因
41
一天24小时共有24×60分钟，所以概率P＝＝. 24×60360
3．从甲、乙、丙三人中任选两人作为代表去开会，甲被选中的概率是( ) 11A. B. 232C. D．1 3
解析：选C.所有的基本事件为：甲、乙，甲、丙，乙、丙，即基本事件共有三个，甲被选
2
中的事件有两个，故P＝. 3
4．有一个四位数字的密码锁，每位上的数字都在0到9这10个数字中任选，某人忘记了密码的最后一个号码，那么此人开锁时，在对好前3位数码后，随意拨动最后一个数码恰好能开锁的概率为( ) 11A.3 B.2 101011C. D.4 1010
解析：选C.最后一位号码可以是0到9中的任何一个数字，共有10种等可能的结果，而正
1
确开锁的号码只有1个，∴P＝.
10
5．5人并排一起照相，甲恰好坐在正中间的概率为( ) 11A. B. 201021C. D. 55
1
解析：选D.甲可以站在5个位置的任意一个位置，故甲坐在正中间的概率为. 5
6．从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)，组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( ) 1316A. B. 1251251819C. D. 125125
3
解析：选D.从1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)，可以组成5×5×5＝5＝125个不同的三位数，其中各位数字之和为9的三位数可分为以下五类： ①由1,3,5三个数字可以组成6个不同的三位数； ②由1,4,4三个数字可以组成3个不同的三位数； ③由2,3,4三个数字可以组成6个不同的三位数； ④由2,2,5三个数字可以组成3个不同的三位数；
⑤由3,3,3三个数字可以组成1个三位数；
∴满足条件的三位数共有6＋3＋6＋3＋1＝19(个)．
19
故所求的概率为.
125
二、填空题
7．若事件A与B不互斥，那么P(A＋B)与P(A)＋P(B)的大小关系是P(A＋B)________P(A)＋P(B)．
解析：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＜P(A)＋P(B)． 答案：＜
8．若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6六个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是________．
解析：基本事件共6×6＝36(个)，点数和为4的有(1,3)，(3,1)，(2,2)，所以向上的点数
31
之和为4的概率是＝.
3612
1
答案：
12
9．从含有2件正品和1件次品的3件产品中任取1件，每次取出后再放回，连续取两次，取出的两件产品中恰好有一件次品的概率是________．
解析：从3件产品中有放回地连续取两次，共有基本事件总数3×3＝9种，记“恰好有一件
4
次品”为事件A，则A含有基本事件数为2×2＝4种，故P(A)＝.
9
4答案：
9三、解答题
10．将A、B两颗骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问： (1)共有多少种不同的结果？
(2)两颗骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？ (3)两颗骰子点数之和是3的倍数的概率是多少？ 解：(1)共有6×6＝36种结果． (2)若用(a，b)来表示两颗骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(4,5)，(5,4)，(3,6)，(6,3)，(6,6)共12种．
121
(3)两颗骰子点数之和是3的倍数的概率是P＝＝.
363
1
11．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋
7
中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有1人取到白球为止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的． (1)求袋中原有白球的个数； (2)求取球2次终止的概率； (3)求甲取到白球的概率．
nn－1
解：(1)设袋中有n个白球，从袋中任取2个球是白球的结果数是.
2
6×7
从袋中任取2个球的所有可能的结果数为＝21.
2
nn－1
21nn－1
由题意知＝＝.
72142
∴n(n－1)＝6.解得n＝3(舍去n＝－2)． (2)记“取球2次终止”为事件A.
4×32
则P(A)＝＝.
6×77
(3)记“甲取到白球”的事件为B，
“第i次取到白球”为Ai，i＝1,2,3,4,5，因此甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球．
所以P(B)＝P(A1＋A3＋A5)． 因为A1、A3、A5两两互斥，
34×3×34×3×2×1×336122
所以P(B)＝P(A1)＋P(A3)＋P(A5)＝＋＋＝＋＋＝.
77×6×57×6×5×4×37353535
12．同时掷四枚均匀硬币，求： (1)恰有两枚“正面向上”的概率； (2)至少有两枚“正面向上”的概率．
解：设一枚硬币“正面向上”用1表示，“反面向上”用0表示，四枚硬币投掷的结果可以用(x1，x2，x3，x4)表示(其中xi仅取0,1)．由此，问题转化为： (1)记“x1＋x2＋x3＋x4＝2”为事件A，求P(A)； (2)记“x1＋x2＋x3＋x4≥2”为事件B，求P(B)．
首先，每个xi都可取0或1,4枚硬币所掷出的结果包括(0,0,0,0)，(0,0,0,1)，(0,0,1,0)，(0,0,1,1)，(0,1,0,0)，(0,1,0,1)，(0,1,1,0)，(0,1,1,1)，(1,0,0,0)，(1,0,0,1)，(1,0,1,0)，(1,0,1,1)，(1,1,0,0)，(1,1,0,1)，(1,1,1,0)，(1,1,1,1)共16种． 其次，对于A，因为x1＋x2＋x3＋x4＝2，所以只要其中两个取1，两个取0即可，包括(1,1,0,0)，
63
(1,0,0,1)，(0,0,1,1)，(1,0,1,0)，(0,1,0,1)，(0,1,1,0)共6种．所以P(A)＝＝.
168
对于B，因为x1＋x2＋x3＋x4≥2，所以包含以下三种情形：x1＋x2＋x3＋x4＝2，有6种； x1＋x2＋x3＋x4＝3，包括(1,1,1,0)，(1,1,0,1)，(1,0,1,1)，(0,1,1,1)共4种；x1＋x2＋x3＋x4＝4，包括(1,1,1,1)共1种．
6＋4＋111
所以P(B)＝＝.
1616
【优化方案】2024高中数学 第3章§3.2知能优化训练 新人教B版必修3
