第4章 多元函数微分学
4.2.1 二元函数的概念
多元函数与一元函数类似，学习时应注意比较．
一元函数是含有一个自变量的函数：y?f(x)。多元函数是含有多个自变量的函数，例如： 二元函数：z?f(x,y)，三元函数：u?f(x,y,z)等等． 例1 如果圆锥体底半径为r,高为h，则其体积v
v是因变量r和h是自变量，D?(r,h)r?0,h?0. 它是二元函数.其中，（函数）.定义域：
例2黑白电视：在t时刻屏幕上坐标为(x,y)处的灰度z为：z?z(x,y,t)，它是三元函数. 例3在一个有火炉的房间里，在t时刻，点(x,y,z)处的温度u是x,y,z,t的函数：
??u?u(x,y,z,t)，称为温度分布函数，它是四元函数．
例4 求函数z?a2?x2?y2的定义域．
222解：a?x?y?0，定义域为D?(x,y)x?y?a
?222?例5 求z?ln(x?y)的定义域． y解：由所给函数，对数真数为正，又分母根式为正，有
?y?0 ?x?y?0?D??(x,y)y?0,x?y?0?
4.3 ——4.4偏导数
二元函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处关于x的偏导数
?x?0limf(x0??x,y0)?f(x0,y0)（注意到：y取值不变，恒为y0）
?x记作：
?z或fx?(x0,y0).类似地，关于y的偏导数：
?x(x0,y0)limf(x0,y0??y)?f(x0,y0)
?y?y?0例如：z?xsin3y
精选
2
?z?fy?(x,y)?3x2cos3y ?y?z?fy?(1,0)?3x2cos3y(1,0) ?y(1,0)
?3求偏导数，包括两个偏导数，一个是对x求偏导，一个是对y求偏导.对x求偏导时，应把y看作常数.这样z就变为了一元函数，于是就可以用一元函数的微分法求导数了.对y求偏导也类似. 注意：
一元函数y?f(x)在x0处可导，则在x0处连续.
多元函数z?f(x,y)在(x0,y0)可导和在(x0,y0)连续，二者不能互推. 全微分
z?f(x,y)称
?z?z?x??y?x?y
?z?z?dx?dy?x?ydz?为函数z?f(x,y)在点(x,y)处的全微分.
例1: 求z?f(x,y)?xsin3y在点(1,0)处关于x的偏导数.
2?z?zy?2xsin3y(1,0)?0 ?2xsin3y，解： 将看作常数，
?x(1,0)?x例2: 求z?xy?2y在点(1,?1)处的全微分. x?z1?zy2?(x?)?2 ?(2xy?)??2?1??1解： ，2?y(1,?1)x(1,?1)?x(1,?1)x(1,?1)因此，dz??dx?2dy 4.5 复合函数与隐函数微分法
复合函数求导法
设z?f(u,v)，而u?u(x,y)，v?v(x,y)，则
?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v????， ?y?u?y?v?y?x?u?x?v?x精选
例1: z?exysin(x?y).
解法1：（利用复合求导公式）设u?xy，v?x?y，则z?eusinv
?z?z?u?z?v???(eusinv)?y?(eucosv)?1?yexysin(x?y)?exycos(x?y) ?x?u?x?v?xz?eusinv，u?xy，v?x?y
?z?z?u?z?v???(eusinv)?x?(eucosv)?1?xexysin(x?y)?exycos(x?y) ?y?u?y?v?y 解法2：（直接求）
?z?(exy)?(sin(x?y))?yexysin(x?y)?exycos(x?y) ?sin(x?y)?exy?x?x?x同理，
?z?xexysin(x?y)?exycos(x?y) ?y?z?z,． ?x?y?z?z?u?z?v?fu??y?fv??1?yfu??fv? ???x?u?x?v?x例2:z?f(xy,x?y)，求
解:设u?xy,v?x?y,则z?f(u,v)，
?z?z?u?z?v???fu??x?fv??1?xfu??fv? ?y?u?y?v?y例3 z?f(x,xy)，求
2
2解: 设u?x,v?xy,则z?f(u,v)，
?z?z?u?z?v?fu??1?fv??y2 ???x?u?x?v?x?fu??y2fv??2xyfv?
例4 z?f(3x,sinx)，求
2dz． dx注意：f是二元函数：f(u,v)， u?3x2,v?sinx 而z是关于u,v的二元函数，最终是关于x的一元函数．
dz?zdu?zdv?fu??6x?fv??cosx ??dx?udx?vdx?z?z,． 例5 z?f(xy)，求
?x?y23精选
注意：f是一元函数，而z是关于x,y的二元函数．
z?f(u),u?x2y3，
?z?u?z?u?f???f??3x2y2 ?f???f??2xy3，?y?y?x?x例6 方程F(x,y)?x2?y2?a2?0(y?0)其图形为上半圆周，相应的函数为
dy?2xx??? y?y(x)?a?x。显然，dxy2a2?x222另一种观点：x?y?a?0，x?y(x)?a?0
222222
xd:2x?2yy??0，y???
ydxxy例7 设函数y?y(x)由方程xlny?ye?2?0所确定，求 y?(x)
解: 无法由已知方程解出y(x)．但此y(x)应满足 xlny(x)?y(x)exy(x)?2?0
dy?:lny?x?y?exy?yexy(y?xy?)?0 dxyylny?y3exy由此解出y?:y???， xy2xyx?ye?xye4.6 二元函数的极值 二元函数的极值
多元函数极值的概念与一元函数极值的概念类似．
若对(x0,y0)附近的(x,y)均有f(x0,y0)?f(x,y)，则称(x0,y0)是f(x,y)的极小点，f(x0,y0)是极小值．若
，则称是的极大点，是极大值．
极大值点、极小值点统称为极值点．极大值、极小值统称为极值． 极值存在的必要条件
若一元函数y?f(x)在x0处可导，且x0是极值点，则f?(x0)?0 若二元函数z?f(x,y)在(x0,y0)处可导，且(x0,y0)是极值点，则
fx?(x0,y0)?0，fy?(x0,y0)?0
二元函数最大值、最小值
若z?f(x,y)在闭区域D内连续，则z?f(x,y)在D内必有最大值和最小值．
精选
若z?f(x,y)在D内可导，且在D内有唯一驻点(x0,y0)，则z?f(x,y)在该驻点
(x0,y0)处的值就是最大值或最小值．
下面我们总结一下求最大值最小值应用问题的步骤： （1）根据题意，建立函数关系； （2）求驻点；
如果驻点合理且惟一，则该驻点就是所求的应用问题的最大点（或最小点）．
例2 用铁皮做一个体积为V的无盖长方体箱子，问其尺寸为多少时，才能用料最省？ 解：设长、宽分别为x,y，则高为
V，表面积为 xy S?xy?2xVVVV?2y?xy?2?2 xyxyyx??y? Sx2V2V?S?x??0 ?0，y22yx3V2V 解得x?y?2V，此时高为 ?xy23答：当长、宽、高分别为2V、2V、
3332V时，无盖箱子用料最省． 24.6.3 条件极值
在例2中，给定体积V，求用料最省的无盖长方盒，即求S=xy+2xh+2yh在条件xyh=V下的最小值． 拉格朗日乘数法
求函数f(x,y,z)在条件?(x,y,z)?0下的条件极值，可用如下的拉格朗日乘数法： 令拉格朗日函数：F?f(x,y,z)???(x,y,z) 求F?f(x,y,z)???(x,y,z)的（无条件）极值：
?F?F?F?0,?0,?0, ?x?y?z
?F??(x,y,z)?0 ??解此方程组．
用拉格朗日乘数法解例2：
求原题即为求S?xy?2xh?2yh在条件xyh?V下的最小值． 令L?xy?2xh?2yh??(xyh?V)
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?L?y?2h??yh?0,?x?L?x?2h??xh?0, ?y?L?2x?2y??xy?0,?h xyh?V 由此可得：
y?2hyh?x?2hxh?2x?2yxy??? 解得x?y?2h 由此可得：
y?2hx?2yh?hxh?2x?2yxy??? 解得x?y?2h
再由xyh?V，解得x?y?2h?32V
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经济数学基础讲义 第7章 多元函数微分学
