§2.3 二次谐波的产生及其解
二次谐波或倍频是一种很重要二阶非线性光学效应，在实践中有广泛的应用，如Nd:YAG激光器的基频光(1.064μm)倍频成0.532?m绿光，或继续将0.532μm激光倍频到0.266μm紫外区域。
本节从二阶非线性耦合波方程出发，求解出产生的二次谐波光强小信号解，并解释相位匹配对二次谐波产生的影响。 2.3.1 二次谐波的产生
??设基频波的频率为?1，复振幅为E1；二次谐波的频率为?2??2?2?1?，复
?????2?振幅E2。由基频波在介质中极化产生的二阶极化强度P，辐射出的二次谐波场??E3?z?所满足的非线性极化耦合波方程
??2???2?dE2?z??0?2?iP2?z?e?ik2z? (2.3.1-1) dz2k2????????2? P2?z???0????2;?1,?1???1?z?E1?z?e2ik1z (2.3.1-2)
注意简并度D?1，?2?2?1
??2????dE2?z???2??0?2?i?0????2;?1,?1??E1?z?E1?z?ei?kzdz2k2 (2.3.1-3)
??????2?i1??????2;?1,?1??E1?z?E1?z?ei?kzn2c波矢失配量， ?k?2k1?k2 (2.3.1-4) 写成单位矢量（光波的偏振方向或电场的振动方向）和标量的乘积形式
??'???aE,a1E1，两种偏振方向可以是E3?a3E3，基频光场可能有两种偏振方向，即11??相互平行也可以是相互垂直，并有a3?a3?1
??'dE2?z??1????2?2 ?ia2?????2;?1,???a1a?z?ei?kz (2.3.1-5) 1?E?11???dzn2c????2?基频波与产生的二次谐波耦合产生的极化场强度P1，辐射出基频光场满足的非线性极化耦合波方程。
????2?dE1?z??0?12? ?iP1?z?e?ik1z??? (2.3.1-6)
dz2k1
1
??????*??2?P1?z??2?0????1;?2,??1???2?z?E1?z?ei(k2?k1)z (2.3.1-7)
??'dE1?z??1????2??ia1?????1;?2,??1?:a2a1?:?2?z?E1*?z?e?i?kz (2.3.1-8)
???dzn1c?
如果介质对频率为?1,?3的光波都是无耗的，即?1,?3远离共振区，则
??2????3;?1,?1?,??2????1;?3,??1?都是实数。
进一步考虑极化率张量的完全对易对称性和时间反演对称性可以证明：
???'?2?(2)?eff?a1?????1;?2,???:2a11a ???2???' (2.3.1-10)
?a2?????2;?1,??a11?a1
二次谐波的耦合波方程组为:
dE1?z???2??i1?effE2?z?E1*?z?e?i?kz (2.3.1-11) dzcn1dE2?z???2?2?i1?effE1?z?ei?kz (2.3.1-12) dzcn22.3.2 二次谐波的小信号解
LE1(0)E3(0)=0图1 倍频边界条件
1、小信号解
在小信号近似下，基频波复振幅不随光波传输距离改变，
dE1?z??0 (2.3.2-1) dz
并由边界条件E2?0??0，对二次谐波的耦合波方程(2.2.1-12)积分得：
2
ei?kL?1E2?L???effE?0?cn2?k??2?21?i二次谐波的光强为：
?cn2?2?2?effE1?0?Lsin??kL2?i?kL2e?kL/2 (2.3.2-2)
21I2?L???0cn2E2?L?21?2???0cn2?eff2??2??1???E1?0??n2c?222sin4?kL2 (2.3.2-3) 2??kL????2?1?0?2L2?2???eff2cn2??E1?0?4利用?2?2?1有效倍频系数(有效非线性光学系数)
?2??eff?2deff (2.3.2-4)
c?x??和函数定义 sinsinx， (2.3.2-5) x21I??cnE0以及 1?1? (2.3.2-6) 012得到小信号近似下的二次谐波解
221?0?4deffI2?2cn2?28?2deffL2?2I1?22??kL?Lsinc?????cn2???01? (2.3.2-7)
222??kL?Isinc???0c3n2n121?2?222P28?deffL2??kL?小信号近似下倍频效率： ???Isinc1?? (2.3.2-8) 32P?0cn1n3?2?1倍频效率正比于基频光束功率密度，输出倍频光强是基频波光强的平方。同
时由曼利——罗关系，在产生一个二次谐波光子的同时，要湮灭两个基频波光子。转换效率正比于倍频系数的平方，即与正比于有效极化率系数的平方?e2、二次谐波解的讨论
?2?2。
3
图 2
sinc2??kL?函数
定义相位匹配带宽：由二次谐波光强最大值一半处的?kL宽度，定义允许的相位失配量
?kBW?0.886?/L (2.3.2-9)
图 3 不同相位匹配因子倍频效率与晶体长度关系
定义相干长度：如果相位失配量?k?0，使倍频光强单调增长的一段距离为相干长度Lc
Lc???k (2.3.2-10)
由上面的讨论知，在小信号近似下，为获得高的倍频效率，首先应满足相位匹配条件?k?0，并且选用有效倍频系数大和较长的晶体，尽可能增强基频光的强度。
4
§2.3.3 二次谐波的大信号解（基频波存在损耗） 产生二次谐波的耦合波方程为
dE1?z???2??i1?effE2?z?E1*?z?e?i?kzdzcn1dE2?z?dz?i?1cn2 (2.3.3-1)
?2?2?effE1?z?e?i?kz讨论在相位匹配条件下，即?k?0，此时基频波和二次谐波的折射率相等，n1?n2dE1?0 dz二次谐波耦合波方程变为：
如果基频波存在损耗，
dE1?z???2??i?effE2?z?E1*?z?dzcn1dE2?z?dz?i?cn1 (2.3.3-2)
?2?2?effE1?z?
类似于曼利——罗关系，作
d?E1E1*?dz?2*d?E2E2?dz运算，得到
2E1?z??E2?z??常数 (2.3.3-3)
由初始条件E2?0??0;E1?0??0
E1?z??E2?z??E1?0? (2.3.3-4)
222
dE2?z?dz考虑到积分方程：
??2??1?effn1c?E21?0??E22?z?? (2.3.3-5)
dx1?1?x??tanh?? (2.3.3-6) ?a2?x2a?a?将(2.3.3-5)整理成上式形式
?
?E?0?1dE2?z?2?E2?z?2??E2?z????2???1?eff?tanh?z (2.3.3-7)
?E1?0??n1cE1?0???1?1E2?z?表示为：
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二次谐波的产生及其解
