《正弦函数、余弦函数的图像》教案设计
黄冈外校 杨小艳
一、内容和内容解析：
1、内容：
本节主要内容是利用多媒体、实物教具等手段教学生画出正弦函数、余弦函数的图像形状，采用类比，突出两种曲线的相同与不同之处。其中要了解利用正弦线画出函数y=sinx, x∈[0,2π]的图像，并且利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线。会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图，在此基础上并且会用“五点法”画与正弦函数、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。多层次练习，通过循环反复、螺旋递进的方式进行练习，使学生在练习中体会正弦曲线、余弦曲线的形状，从而完成对教学内容的突出
2、内容解析：
本节课是高中新教材《数学》必修4§1.4《正弦函数、余弦函数的图象和性质》 的第一节，是学生在已掌握了一些基本函数的图象及其画法的基础上，进一步研究三角函数图象的画法。.为今后学习正弦型函数 y＝Asin (ωx＋φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础．因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识的掌握起到了承上启下的作用。
二、目标和目标解析
1、目标：
（1）了解如何利用正弦线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像。
（2）掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图。
（3）探究利用“五点法”画与正弦函数、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的
闭区间上的简图。
（4）体验利用图象变换作图的方法，体会数形结合的思想。
2、目标解析：
（1）利用诱导公式，由正弦函数的图像通过平移变换法得到余弦函数图像，学会遇到新问
题时，善于调动所学过的知识，较好的运用新旧知识之间的联系，培养学生应用分析、探索、化归、类比、数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力。
(2) 体会“五点法”作图给我们学习带来的好处，并会熟练地画出一些简单的函数图像，进
一步了解从特殊到一般，从一般到特殊的辩证思想方法。
（3）通过实验、作图，使学生感受波形曲线的流畅美、对称美，使学生体会事物周期变化
的奥秘，培养学生自主探索和合作学习的能力。
（4）通过本节内容的学习，创设和谐融洽的教学氛围和阶梯形问题，使学生在学习活动中
获得成功感，从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情。
三、教学问题诊断分析：
在初中，学生已经学习过三步作图法（列表，描点、连线）——“描点作图”法，对于函数y=sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y＝sinx的图象的真实面貌。因为在前面已经学习过三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础。动手作出函数y＝sinx和y=cosx的图象，学生不会感到困难。
这节课的难点是：利用正弦线画出函数y=sinx, x∈[0,2π]的图像，并且会利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图。在这里，几何描点法中，单位圆中的三角函数线是一些有向线段，它们可以用来表示单位圆中的三角函数值，这种思路是学生不容易想到的，需要适当引导。画正余弦函数图像的五点法中的五点选取可以是不一样的，根据各自的取值区间，只要都是一个周期内的图像均可。在观察正弦函数图像向左或者向右平移时，学生不容易想到相关的诱导公式，这就要求老师的引导，也要求充分复习正弦线、函数图像的变换等知识，体现了知识间的联系，使学生看到一个新问题的解决不是深不可测。在利用多媒体作图时，认真梳理好讲解的顺序，采用类比，突出两种曲线的相同与不同之处，并且让学生充分参与。
四、教学支持条件分析：
1．资料的收集
“简谐运动”的实验装置. 2.课件的制作
采用flash软件辅助设计“简谐运动”动画，用flash软件或“几何画板”制作正弦函数图像的几何画法过程. 3.活动的准备:
利用多媒体、实物教具等手段可帮助学生更直观地认识正、余弦函数曲线，以及它们之间的图像变换，并且通过教师的讲解法、谈话法、发现法、启发式教学法，使学生通过一定的观察、思考、分析以及动手操作，更有利学生的自主探索，使学生在学习活动中获得成功感，整堂课在师生的合作学习氛围中进行数学思维，使学生更好的发现数学规律。
五、教学过程
本过程是教学设计的核心,应把教学内容、教学重点、教学进程、学生活动、所需要的教学资源及教学指导策略表达清楚
课题导入：
以前，我们已经学习过一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等，对于各种函数，我们都可以通过它的图像研究它的一些相关性质，那么，我们今天学习的正、余弦函数的图像是什么样子的呢？
探索新知： 1、情景设置：
遇到一个新函数，画出它的图像，通过观察图像获得对它的性质的直观认识，是研究函数的基本方法，为了获得正弦函数和余弦函数的图像，我们先做一个简谐振动的实验，请注意观察它的图形特点。
实物演示：
“装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直运动的木板上的轨迹”
思 考：1、该曲线是何曲线？
2、你有办法画出该曲线的图象吗？
【设计意图】：明确研究思想，利用简谐振动图像引进正弦曲线、 余弦曲线。 【师生活动】：师：说明基本思路； 温故知新： 1、作函数图像的方法：描点法、图像变换法 【设计意图】：复习前知，为新知作铺垫。 【师生活动】：师：提出问题；生：回答问题 2、单位圆中的三角函数线 复习单位圆中正弦线、余弦线、正切线的作法，并且强调三角函数线是有向线段。 【设计意图】：复习前知，为利用正弦线画正弦函数做准备。 【师生活动】：师：提出问题；生：回答问题。 3、如何画出正弦函数（y?sinx,x?R）、余弦函数（y?cosx,x?R）图像？ 提示：利用三角函数线 【设计意图】：对三角函数线的复习起前后呼应的效果。 2、给出思考： 通过上述实验，我们对正弦函数图像有了直观印象，那如何画出函数y=sinx ,x∈ [0,2π] 的图像呢？----描点法 先请同学们在直角坐标系中作点(?,sin)？——粗略描点法和几何描点法 33?【设计意图】：体会用学过的“粗略描点法”作图像的麻烦和不准确。 【师生活动】：师：提出“作函数图像的步骤是什么？”。 生：回答“列表、描点、连线”，并动手尝试。 3、画出函数y=sinx ,x∈ [0,2π] 图象（几何描点法）： 探究过程：（老师提示，学生分组讨论） （1）我们可以用单位圆中的三角函数线来刻画三角函数，那是否可以用它来帮助作三角函数图像呢？ 【设计意图】：建立单位圆的三角函数线与三角函数图像之间的联系，引出利用正弦线作正弦函数图像的方法。 【师生活动】：师：讲解利用单位圆中的正弦线作正弦函数图像的方法。 生：思考如何得到图像上的一个点，即对于自变量x，如何利用正弦线确定它所对应的y的值？ （2）为什么要从单位圆与x轴交点A开始，将单位圆分成12等份？ 【设计意图】：使学生认识这样可以把正弦函数有代表性的取值都包括在内，以便较准确地做出图像，体会用学过的“描点法”作图像取点的技巧和合理性。 【师生活动】：师：指导学生思考。 生：讨论，分析各个角度正弦线的位置。 （3）如何利用正弦线描出正弦函数图像上的一些点呢？ 【设计意图】：进一步明确如何利用单位圆中的正弦线画正弦函数图像。 【师生活动】：师：注意引导学生分析图像上的点与单位圆中的圆心角及其对应的正弦线之间的关系。 生：思考如何利用正弦线描出图像。 （4）按照教科书叙述的步骤,描出12个点,做出函数y=sinx ,x∈ [0,2π] 的图像。 【设计意图】：培养学生的动手操作能力，形成对正弦函数图像感知。 【师生活动】：师：指导学生动手画图。生：动手画图。 P2P1y1P1’P2’y=sin x, x∈[0, 2π]?2O'M2M1O-1M1’M2’π3?22π x
作图过程：
（1）在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以O1为圆心作单位圆；
（2）从圆O1与x轴的交点A起把圆O1分成12等份（份数宜取6的倍数，份数越多）画
出的图象越精确）；
（3）再把x轴上从0到2?这一段（ ≈6.28）分成12等份； （4）过圆O1上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0、
???、、、…、2?等角的正632弦线；
（5）把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合； （6）再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到函数y=sinx ,x∈ [0,2π]的图象。
4、新知拓展：
如何做出函数y?sinx,x?R的图像？
因为终边相同的角有相同的三角函数值，三角函数值有周而复始的变化规律。所以函数y?sinx在x?[0,2?)的图象与函数y?sinx，x?[2k?,2(k?1)?),(k?Z,k?0)的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是只要将它向左、右平行移动（每次2?个单位长度），就可以得到正弦函数y?sinx,(x?R)的图象，即正弦曲线。
【设计意图】：引导学生利用诱导公式（一），只要将函数 y=sinx ,x∈ [0,2π]的图像左、右平移（每次2?个单位长度）就可以得到函数y=sinx ,x∈ R的图像。 【师生活动】：师：提示学生从诱导公式入手，进行思考。 生：思考问题，总结规律，动手画图。 5、课本探究： 你能根据诱导公式，以正弦函数的图像为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图像吗？ 由y?cosx?sin(x??2)知，把正弦图像向左平移?个单位即得余弦函数图像。 2 3?个单位得到余弦函数图像呢？ 23?)可知。 可以，由y?cosx?sin(x?2探究：能否将正弦函数右移【设计意图】：使学生从函数解析式之间的关系思考函数图像之间的关系，进而学习通过图象变换画余弦函数图像的方法，让学生感受有了一个函数图像为基础时，可以通过图像变换得到另一函数的图像，降低作图的难度。 【师生活动】：师：引导学生思考。
《正弦函数余弦函数的图像》教案设计
