|OF2|2=|B2F2|2－|OB2|2 ，即c2＝a2－b2 这就是在前面一节里，我们令a－c＝b的几何意义。
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4.离心率
定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝ 因为a>c>0,所以0 [来源:Zxxk.Com]ca，叫做椭圆的离心率。 问题4 观察图形,说明当离心率e变化时,椭圆形状是怎样随之变化的? [调用几何画板，演示离心率变化(分越接近1和越接近0两种情况讨论)对椭圆形状的影响] 得出结论：(1)e越接近1时，则c越接近a，从而b越小，因此椭圆越扁； (2)e越接近0时，则c越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合于椭圆的中心，图形变成圆。 当e＝1时，图形变成了一条线段。[为什么？留给学生课后思考] 5.例题 例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形. [根据刚刚学过的椭圆的几何性质知，椭圆长轴长2a，短轴长2b，该方程中的a＝？b＝？c＝？因为题目给出的椭圆方程不是标准方程，所以必须先把它转化为标准方程，再讨论它的几何性质] 解：把已知方程化为标准方程 x522?y422?1, 这里a＝5，b＝4，所以c＝25?16＝3 因此，椭圆的长轴和短轴长分别是2a＝10，2b＝8 c3离心率e＝＝ 5a两个焦点分别是F1(－3,0),F2(3,0)， 四个顶点分别是A1(－5,0) A1(5,0) A1(0,－4) F1(0,4). [提问：怎样用描点法画出椭圆的图形呢？我们可以根据椭圆的对称性，先画出第一象限内的图形。] 将已知方程变形为 y??y?454525?x22，根据 25?x 在0≤x≤5的范围内算出几个点的坐标(x,y) x y 0 4 1 3.9 2 3.7 3 3.2 4 2.4 5 0 先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆（如图） 说明：本题在画图时，利用了椭圆的对称性。利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性。 根据椭圆的几何性质，用下面的方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图： (1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形； (2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点； (3) 用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆。 [画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性] （四）练习 填空：已知椭圆的方程是9x2+25y2=225, (1) 将其化为标准方程是_________________. 第16页（共57页) (2) a=___,b=___,c=___. (3) 椭圆位于直线________和________所围成的________区域里. 来源[学#科#网Z#X#X#K]椭圆的长轴、短轴长分别是____和____,离心率e＝_____,两个焦点分别是_______、______,四个顶点分别是______、______、______、_______. 例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2); (2)长轴的长等于20,离心率等于0.6 例3 点M?x,y?与定点F?4,0?的距离和它到直线l:x?（教师分析——示范书写） 例4、如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面） 的一部分。过对称轴的截口ABC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。已知AC?F1F2，|F1A|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm,求截口ABC所在椭圆的方程。 三、课堂练习： ①比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？ ⑴9x?y?36与 ??1 ⑵x?9y?36与??1（学生口答，并说明原因） 1612610②求适合下列条件的椭圆的标准方程. 22254的距离之比是常数 45，求点M的轨迹. x2y222x2y2⑴经过点P?22,0,Q0,5 ⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点P?3,0? ⑶焦距是8，离心率等于0.8 （学生演板，教师点评） 焦点在x轴、y轴上的椭圆的几何性质对比. ????四、小结 (1)理解椭圆的简单几何性质，给出方程会求椭圆的焦点、顶点和离心率; (2)了解离心率变化对椭圆形状的影响; (3)通过曲线的方程研究曲线的几何性质并画图是解析几何的基本方法. 五、布置作业 课本习题2.1 的6、7、8题 课后思考： 第17页（共57页) 1、椭圆上到焦点和中心距离最大和最小的点在什么地方？ 2、点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到定直线l：x= 的距离的比是常数 （a＞c＞0），求点M轨迹，并判断曲线的形状。 3、接本学案例3，问题2，若过焦点F2作直线与AB垂直且与该椭圆相交于M、N两点，当△F1MN的面积为70时，求该椭圆的方程。 2.2.2双曲线的几何性质（一） 课型：新授课 时间： 月 日 学习札记 ◇预习目标◇ 1、掌握双曲线标准方程中a、b、c、e之间的关系； 2、了解双曲线的渐近线的概念和证明； 3、尝试用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质。 ◇问题引导，自我探究◇ 以双曲线标准方程xa22?yb22?1为例进行说明。 1．范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线x??a 的外侧。 注意：从双曲线的方程如何验证？ 2．对称性： 是双曲线的对称轴， 是双曲线对称中心，双曲线的对称中心叫做 。 3．顶点：双曲线和x轴有两个交点是 ，他们是双曲线xa22xa22?yb22?1 的?yb22?1的顶点。 4．渐近线：他们是如何确立的？ ◇自学测试◇ 1、 叫做等轴双曲线；等轴双曲线的渐近线是 。 2、双曲线的离心率是 第18页（共57页) 3、求双曲线9y2?16x2?144的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程。 课题： 2.2.2双曲线的几何性质（一） 课型：新授课 时间： 月 日 学习札记 〖学习目标及要求〗： 1、学习目标：（1）能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；； （2）掌握双曲线的渐近线的概念和证明； （3）能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题。 2、重点难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。 3、高考要求：双曲线的几何性质在解题中的灵活运用。 4、体现的思想方法：类比、设想。 5、知识体系的建构：圆锥曲线体系的建构。 〖讲学过程〗： 一、预习反馈: 二、探究精讲: 以双曲线标准方程线和离心率。 1、顶点：在双曲线xa22 感悟一： xa22?yb22 ?1为例进行说明双曲线的顶点、渐近 ?yb22 ?1的方程里，对称轴是x,y轴，所 ?1的顶点。 以令y?0得x??a，因此双曲线和x轴有两个交点xa22A(?a,0)A2(a,0)，他们是双曲线?yb22 令x?0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。 1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶第19页（共57页) 点）， 双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。 2）实轴：线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线 的实半轴长。 虚轴：线段BB2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。 在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。 2、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。 在初中学习反比例函数y?三角函数ykxxa22 ca?yb22?1时提到x轴y轴都是它的渐近线。高中?k???tanx，渐近线是x?2(k?Z)。 所谓渐近，既是无限接近但永不相交。 3、离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比e=说明：①由c>a>0可得e>1； ②双曲线的离心率越大，它的开口越阔. ，叫双曲线的离心率. 感悟二： 探究二： 课本51页例3 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（见课本），它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高55m，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m） 探究三： 22例3．求与双曲线4x?y?4有共同渐近线，且过点M(2,2)的双曲 线的方程。 第20页（共57页)
人教版高中数学选修1-1全套教案
