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课 题：完 全 平 方 数
一、本课知识点和能力目标
1．知识点：
个位数的计算或判断，需要掌握由一般到特殊的归纳思想、方法，通过知识的传授培养学生的数学能力。
完全平方数是一种特殊的整数，有其独特的性质，通过学习，学生要学会判断一个数是否完全平方数，并能利用完全平方数的性质解决一些数学问题。 2．能力目标：
本讲采用举例的办法，介绍以帮助同学们轻松地进行计算，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。
二、数学思想：一般到特殊，分类讨论思想。
三、本次授课节次及内容安排 第1课时：个位数的判定。 第2课时：完全平方数 第3课时：典型例题剖析 第4课时：课堂反馈.
四．课外延伸、思维拓展
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第一课时
[知识要点]
个位数知识：1.整数之和（差）的个位数等于其个位数之和（差）。
2.整数之积的个位数等于其各个因数的各位数之积。 3.正整数的幂的个位数有一定的规律。 (a)n次幂后，0，1，5，6的个位数保持不变。
(b)个位数为4，9的数，n次幂后的个位数以2为周期变化。 (c) 个位数为2，3，7，8的数，n次幂后的个位数以4为周期
变化。
【经典例题】
例1.求19971999的个位数。
答案：3。
例2.试证：（）15353?3333是10的倍数；（2）31998?41998是5的倍数。
答案：（1）0；（2）3。
例3.数310001g710002g1310003的个位数字是什么？
答案：9
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例4.a?1997答案：1
尝试练习：
19961999,求a的个位数字。
1.求333的個位數字.(香港青少年數學精英選拔賽2000~2001)2.7887?8778的個位數字是_______?(第一屆華羅庚杯香港小學精英賽)3..21998?31999?72000的個位數字是_______?(1999年香港數學奧林匹克)4.20012001?20022002?20032003
的個位數字是_______?(2001年香港數學奧林匹克)5.632?(7313?178)的個位數字是_______?6.32111?10的餘數是多少?答案：（1）3； （2）1； （3）8； （4）2； （5）2； （6）7
第二课时
[知识要点]
如果n是一个整数，则n2就叫完全平方数。 性质：
（1） 平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9. （2） 平方数被3除的余数只能是0和1。 （3） 奇数的平方数为4m+1,偶数的平方数是4m.
（4） 平方数的个位数是奇数1，5，9时，十位数字一定是偶数。 （5） 平方数之积是平方数。 （6） 平方数的正约数个数为奇数。
根据平方数的定义和性质，有如下非平方数的判定方法：
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（1） 两相邻平方数再没有平方数。
（2） 个位数是2，3，7，8的正整数不是平方数。 （3） 正约数个数是偶数个的正整数不是完全平方数。 （4） 个位数字与十位数字都是奇数的数不是平方数。 （5） 若存在质数p|a,而 p2?a,则a不是平方数。
【经典例题】
例1. 试证：形如3n+2的数不是完全平方数。
证明：整数被3除，余数分别为0，1，2。 易得：被3整除的数的平方数仍被3整除，
被3除余1的数的平方(3k+1)2=9k2+6k+1余数仍为1. 被3除余2的数的平方(3k+2)2=9k2+12k+4余数仍为1
故任何形如3n+2的数都不是完全平方数。
例2. 求证：奇数的平方数被8除余1，偶数的平方数一定是4的倍
数。
证明：奇数(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1, n、n+1为连续整数，必有一个偶数. 偶数（2n）2=4n2,为4的倍数。 故得证。
例3. 使得（n2?19n?91）为完全平方数的自然数n的个数是多少？ 分析：若n2-19n+91处于两个连续的整数平方数中，就不可能是完全平方数。
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解：n2?19n?91?(n?9)2?(10?n),当n?10时，（n2?19n?91）不会为完全平方数。当n?10时，（n2?19n?91）才能为为完全平方数。2 经计算：当n?9或10时，（n?19n?91）为完全平方数。（n2?19n?91）为完全平方数的值有2个。例4. 一个自然数减去45后是一个平方数，这个自然数加上44，仍
是平方数，试求这个平方数。
解：设这个自然数为x,得2?x-45=m?22其中m,n为自然数。则n?m?89.?2??x?44?n(n?m)(n?m)?89.Q89是质数，?n?m?89??得n=45,m=44.?n?m?1代入得： x=1981.尝试练习：
1.判断11、111、1111、…、111...11，…这串数中是否有完全平方数。
(n?1)个1
答：没有完全平方数。（由性质4可得）
2.已知A?4a?b?3a?2是a?2的算术平方根，B=3a+2b-92-b是2?b的立方根，求A?B的n次方根。?4a?b?3?2?a?2得?解：由题意得：?
3a?2b?9?3b?3.??所以A=2，B=-1。
当为奇数时，A+B的n次方根为1。
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完全平方数(初中数学竞赛教案)
