2024-2024年高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 第4讲 与函数的零点相关的问题 文

2024-2024年高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 第4讲 与函数

的零点相关的问题 文

函数零点的个数问题

1.函数f(x)=xcos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

解析:要使f(x)=xcos 2x=0,则x=0,或cos 2x=0,而在区间[0,2π]上,通过观察y=cos 2x的函数图象,易得满足cos 2x=0的x的值有,,,,所以零点的个数为5个.

x

2.(xx南昌二模)已知函数f(x)=函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x∈[0,1]时,g(x)=2-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是( B ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

解析:函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数.在同一坐标系中画出这两个函数的图象:

由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,共6个点. 所以原函数共有6个零点.故选B.

3.(xx南昌市一模)已知函数f(x)=若关于x的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为 .

解析:依题意,得a≠0,令f(x)=0,得lg x=0,即x=1,由f[f(x)]=0,得f(x)=1,

当x>0时,函数y=lg x的图象与直线y=1有且只有一个交点,则当x≤0时,函数y=的图象与直线y=1没有交点,若a>0,结论成立;若a<0,则函数y=的图象与y轴交点的纵坐标-a<1,得-1

①若a=1,则f(x)的最小值为 ;

②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是 . 解析:①当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示:

由图可知f(x)的最小值为-1.

②当a≤0时,显然函数f(x)无零点;

当01,由二次函数的性质可知,当x≥1时,f(x)有2个零点,则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-∞,1)上无零点,则2-a≤0,即a≥2.综上可知,满足条件的a的取值范围是[,1)∪[2,+∞). 答案:①-1 ②[,1)∪[2,+∞) 确定函数零点所在的区间

5.(xx四川成都市一诊)方程ln(x+1)-=0(x>0)的根存在的大致区间是( B ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,e) (D)(3,4) 解析:设f(x)=ln(x+1)-,

则f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>0,

得f(1)f(2)<0,函数f(x)在区间(1,2)有零点,故选B.

x2

6.(xx河南郑州市一模)设函数f(x)=e+2x-4,g(x)=ln x+2x-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点,则( A )

(A)g(a)<0

x

解析:考查函数y=e与y=4-2x的图象,得其交点的横坐标a应满足0

2

与y=5-2x的图象,得其交点的横坐标b应满足1e+2-4>0,可排除C,D;0

利用导数解决与函数有关的方程根(函数零点)问题

2x

7.(xx河南省六市3月第一次联合调研)设函数f(x)=xln x,g(x)=(-x+ax-3)e(a为实数). (1)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程; (2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值;

x

(3)若存在两不等实根x1,x2∈[,e],使方程g(x)=2ef(x)成立,求实数a的取值范围.

2x

解:(1)当a=5时g(x)=(-x+5x-3)·e,g(1)=e.

2x

g′(x)=(-x+3x+2)·e,故切线的斜率为g′(1)=4e. 所以切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e. (2)f′(x)=ln x+1, x f′(x) f(x) (0, ) - 单调递减 0 极小值(最小值) (,+∞) + 单调递增 ①当t≥时,在区间(t,t+2)上f(x)为增函数, 所以f(x)min=f(t)=tln t,

②当0

x2

(3)由g(x)=2ef(x),可得2xln x=-x+ax-3, a=x+2ln x+,

令h(x)=x+2ln x+,h′(x)=1+-=.

x h′(x) h(x) (,1) - 单调递减 1 0 极小值(最小值) (1,e) + 单调递增

h()=+3e-2,h(1)=4,h(e)=+e+2. h(e)-h()=4-2e+<0.

所以实数a的取值范围为(4,e+2+].

2

8.(xx湖北八市联考)已知函数f(x)=ln(x+a)-x-x在x=0处取得极值. (1)求实数a的值;

(2)若关于x的方程f(x)=-x+b在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围.

′

解:(1)f(x)=-2x-1,

′

因为x=0时,f(x)取得极值,所以f(0)=0, 故-2×0-1=0,解得a=1,

经检验当a=1时,f(x)在x=0处取得极大值符合题意, 所以a=1.

2

(2)由a=1知f(x)=ln(x+1)-x-x,

由f(x)=-x+b,得ln(x+1)-x+x-b=0,

2

令φ(x)=ln(x+1)-x+x-b,则f(x)=-x+b在[0,2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在[0,2]上恰有两个不同的实数根. φ′(x)=-2x+=,

当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,于是φ(x)在(0,1)上单调递增; 当x∈(1,2)时,φ′(x)<0,于是φ(x)在(1,2)上单调递减;

2

依题意有

解得ln 3-1≤b

所以实数b的取值范围是[ln 3-1,ln 2+).

一、选择题

abx

1.(xx太原一模)已知实数a,b满足2=3,3=2,则函数f(x)=a+x-b的零点所在的区间是( B )

(A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2)

ab

解析:因为实数a,b满足2=3,3=2, 所以a=log23>1,0

x

因为函数f(x)=a+x-b,

x

所以f(x)=(log23)+x-log32单调递增, 因为f(0)=1-log32>0

f(-1)=log32-1-log32=-1<0,

x

所以根据函数的零点存在性定理得出函数f(x)=a+x-b的零点所在的区间是(-1,0),故选B. 2.(xx凉山州模拟)设函数f(x)=|ln x|-的两个零点为x1,x2,则有( A ) (A)x1x2<1 (B)x1x2=1 (C)1

作函数y=|ln x|与y=的图象如图. 不妨设x1

且|ln x1|>|ln x2|,

所以-ln x1>ln x2,则ln x1+ln x2<0,即ln (x1x2)<0,

所以x1x2<1.故选A.

3.(xx蚌埠二模)函数f(x)=有且只有一个零点时,a的取值范围是( D ) (A)(-∞,0] (B)(0, )

(C)(,1) (D)(-∞,0]∪(1,+∞) 解析:因为f(1)=ln 1=0,

所以当x≤0时,函数f(x)没有零点,

xx

故-2+a>0或-2+a<0在(-∞,0]上恒成立,

xx

即a>2,或a<2在(-∞,0]上恒成立, 故a>1或a≤0. 故选D.

4.(xx重庆卷)已知函数f(x)=且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是( A )

(A) (-,-2]∪(0, ] (B) (-,-2]∪(0, ] (C) (-,-2]∪(0, ] (D) (-,-2]∪(0, ]

解析:g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点就是函数y=f(x)的图象与函数y=m(x+1)的图象有两个交点,在同一直角坐标系内作出函数 f(x)=和函数y=m(x+1)的图象,如图,

当直线y=m(x+1)与y=-3,x∈(-1,0]和y=x,x∈(0,1]都相交时,0

2

y=-3,x∈(-1,0]有两个交点时,由方程组消元得-3=m(x+1),即m(x+1)+3(x+1)-1=0,化简得2

mx+(2m+3)x+m+2=0,当Δ=9+4m=0,即m=-时,直线y=m(x+1)与y=-3相切,当直线y=m(x+1)过点(0,-2)时,m=-2,所以m∈(-,-2].综上,实数m的取值范围是(-,-2]∪(0, ],故选A.

2

5.(xx湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( D ) (A){1,3} (B){-3,-1,1,3} (C){2-,1,3} (D){-2-,1,3}

2

解析:当x≥0时,函数g(x)的零点即方程f(x)=x-3的根,由x-3x=x-3,解得x=1或3; 当x<0时,由f(x)是奇函数得

2

-f(x)=f(-x)=x-3(-x),

2

即f(x)=-x-3x.

由f(x)=x-3得x=-2-(正根舍去). 故选D.

x

6.已知x0是函数f(x)=2+的一个零点,若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( B ) (A)f(x1)<0,f(x2)<0 (B)f(x1)<0,f(x2)>0 (C)f(x1)>0,f(x2)<0 (D)f(x1)>0,f(x2)>0

x

解析:函数y=2,y=在(1,+∞)都为单调增函数,

x

所以f(x)=2+在(1,+∞)上为单调增函数. 因为f(x0)=0,

所以x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞)时,

f(x1)f(x0)=0,从而答案B正确.

7.(xx山东模拟)已知函数f(x)=则下列关于函数y=f[f(kx)+1]+1(k≠0)的零点个数的判断正确的是( C )

(A)当k>0时,有3个零点;当k<0时,有4个零点 (B)当k>0时,有4个零点;当k<0时,有3个零点 (C)无论k为何值,均有3个零点 (D)无论k为何值,均有4个零点 解析:令f[f(kx)+1]+1=0得, 或

解得f(kx)+1=0或f(kx)+1=; 由f(kx)+1=0得, 或

即x=0或kx=; 由f(kx)+1=得, 或

kx

即e=1+(无解)或kx=;

综上所述,x=0或kx=或kx=; 故无论k为何值,均有3个解. 故选C.

2

8.(xx怀化二模)定义域为R的函数f(x)=若关于x的函数h(x)=f(x)+af(x)+有5个不同的零点x1,x2,x3,x4,x5,则++++等于( C ) (A)15 (B)20 (C)30 (D)35 解析:作函数f(x)=的图象如图,

则由函数h(x)=f(x)+af(x)+有5个不同的零点知, 1+a+=0,解得a=-,

2

则解f(x)-f(x)+=0得, f(x)=1或f(x)=;

故若f(x)=1,则x=2或x=3或x=1; 若f(x)=,则x=0或x=4;

故++++=1+4+9+16=30.故选C.

9.(xx郑州二模)已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( A )

(A)[-1,3) (B)[-3,-1] (C)[-3,3) (D)[-1,1) 解析:因为f(x)= 所以g(x)=f(x)-2x=

2