构建仿射坐标系解题
湖北省阳新县高级中学 邹生书
直角坐标系和斜角坐标系统称为仿射坐标系，直角坐标系是仿射坐标系的特例，斜角坐标系是直角坐标系的类比推广.本文通过类比直角坐标系下点的坐标、向量坐标、直线方程等有关知识，构建仿射坐标系解决向量共线、向量线性表示以及线性规划等有关问题.
一、仿射坐标系下的向量共线问题
我们知道在直角坐标系下共线向量有如下结论：若
。同样在仿射坐标系下此结论仍然成立。
例1 已知向量
，则实数的值是( )
，则
解法1(常规解法)因
，故.又
，所以
，
，解得
解法2 由以
，故选.
，知不共线，以原直角坐标系的原点， 则
作为原点，，因为
作为单位基底建立仿射坐标系
，所以
例2 已知向量否存在这样的非零实数
，所以，故选.
其中
，使向量
不共线，向量.问是
与共线?
解法1（常规解法） 因为
，若
与共线，因
，所以存在实数，使
得得
，即
，故存在这样的非零实数
，只要
，所以，就能使向量
，消去
与共线.
解法2 因不共线，在向量平面内任取一点
，则
作为原点，以作为单位基底，同法
1
得
建立仿射坐标系
.
若向量数
二、仿射坐标系下向量的线性表示问题
例3 如图1，在和 解 以
建立平面仿射坐标系如图1所示.因为
，所以
为坐标原点，以
作为仿射坐标系的单位基底，
表示向量
. 中，
，
和
交于点
.试用向量
与共线，则，只要
，就能使向量
与共线.
，解得
，故存在这样的非零实
，
.所以直
线
在仿射坐标系下的“截距式”方程为即①.
直线在仿射坐标系下的“截距式”方程为即②.解①②得
，则点
的坐标为，所以.
图1
例4 在平行四边形
，则
中，( )
，与相交于点，若
解 以
为坐标原点，以
作为仿射坐标系的单位基底，建立平面仿射坐标系
如图2所示.因为，所以
， .所以直线在仿射坐
标系下的“截距式”方程为即①.直线在仿射坐标系下的“斜率”
为，故直线在仿射坐标系下的“点斜式”方程为②.解
①②得
，则点的坐标为，所以，故选.
图2
三、仿射坐标系下的线性规划问题
下面在类比思想的引领下用仿射坐标系下的线性规划解法解一类向量创新问题.
例5(2011南昌联考)已知
，则
解 以
为原点以则
，设，当直线过点
值范围是
.
作为轴，又因为
即时，
轴上的单位向量建立仿射坐标系如图3所示，设
，于是有
该方程表示直线，当直线过点。因
是
内任一点，所以
，则时，的取
是
内任一点(不包括三角形边上的点)，且满足
的取值范围是＿＿
图3
例6(2009年高考安徽理科第14题)如图4，给定两个长度为1的两个向量它们的夹角为
，则
，点
在以
为圆心的圆弧
上变动，若
和
，
，其中
的最大值是
4 图5
解 以
则
，设
所以平行于
，故
例7(2011年唐山市)在平行四边形三边及其内部组成的区域为
，
中，
分别为，当点
在
的中点，记上运动时，
为原点以
作为轴
，又因为
该方程表示直线
相切于点
图
轴上的单位向量建立仿射坐标系如图5所示.设
，于是有.而直线时，直线在
的方程是
，则，
，当直线与圆弧的最大值是2.
轴上的截距最大，
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