玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品
专题04 立体几何中最值问题
一．方法综述
高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．
立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。
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二．解题策略
类型一 距离最值问题
【例1】如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB?2，若线段DE上存在点P使得GP?BP，则边CG长度的最小值为（ ）
A. 4 B. 43 C. 举一反三
1、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是_____。
D. 23
2、【2017甘肃省天水市第一中学上学期期末】如图所示,在空间直角坐标系中,D是坐标原点,有一棱长为a
的正方体
,E和F分别是体对角线
和棱
上的动点,则
的最小值为（ ）
A. B. C. a D.
3、如右图所示，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中， E为棱CC1的中点，点P,Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则?PEQ周长的最小值为_______．
类型二 面积的最值问题
【例2】已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A?BCD的外接球，
BC?3， AB?23，点E在线段BD上，且BD?3BE，过点E作圆O的截面，则所得截面圆面积的
取值范围是（ ）
A. ??,4?? B. ?2?,4?? C. ?3?,4?? D. ?0,4?? 举一反三
1、在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC且AC=1，AB=2，PA=3，过AB作截面交PC于D，则截面ABD的最小面积为（ ） A.
10353105 B. C. D. 1051052、如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB?1,AA1?2，点P是平面A1B1C1D1内的一个动点，则三棱锥P?ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（ ）
俯视图 D1 P C1 B1 A1 侧视图 D A 正视图 C B A．1 B．2 C ．
11 D． 243、正三棱锥V-ABC的底面边长为2a，E,F,G,H分别是VA,VB,BC,AC的中点，则四边形EFGH的面积的取值范围是（ ）
A．?0,??? B．??32??32?12?? C．?? D．?a,??a,??a,???? ?3??6??2?????类型三 体积的最值问题 【例3】如图，已知平面
，值是（ ）
，
，
平面
，
，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且
，则四棱锥
，
，是平面上的一动点，且有体积的最大
A.
B.
C.
D.
举一反三
1、已知AD与BC是四面体ABCD中相互垂直的棱，若AD?BC?6，且?ABD??ACD?60，则四面体ABCD的体积的最大值是
A. 182 B. 362 C. 18 D. 36 2、如图，已知平面???l，A、B是l上的两个点，C、D在平面?内，且DA??,CB??,AD?4，
在平面?上有一个动点P，使得?APD??BPC，则P?ABCD体积的最大值是（ ） AB?6,BC?8，
A.243 B.16 C.48 D.144
3、(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( ) A.4π
9π B.
2
C.6π
32πD. 3
类型四 角的最值问题
【例4】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为?，则cos?的最大值为.
举一反三
1、矩形ABCD中，
，
，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直
线AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为（ ）
A.
B.
C.
D.
[来源:Z§xx§k.Com]2、在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O是BD中点，点P在线段B1D1上，直线OP与平面A1BD所成的角为?，则sin?的取值范围是（ ） A．[23331111,] B．[,] C．[,] D．[,] 334332433、在正四面体P?ABC中，点M是棱PC的中点，点N是线段AB上一动点，且AN??AB，设异面
直线NM与AC所成角为?，当
12???时，则cos?的取值范围是__________． 33三．强化训练
1、正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P在A1C上运动（包括端点），则BP与AD1所成角的取值范围是（ ） A. ?,? B. ?,? C. ?,? D. ?,?
?43??42??62??63?2．如图，在矩形ABCD中， AB?2,AD?1,点E为CD的中点， F为线段CE（端点除外）上一动点现将?DAF沿AF折起，使得平面ABD?平面ABC设直线FD与平面ABCF所成角为?，则sin?的最大值为（ ）
????????????????
2112 B. C. D.
4 3233、如下图，正方体ABCD?A1B1C1D1中， E是DD1的中点， F是侧面CDD1C1上的动 点，且B1F//
A.
平面A1BE，则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值的最小值是_________
4、【2014四川，理8】如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上，
[来源学科网Z,X,X,K]直线OP与平面A1BD所成的角为?，则sin?的取值范围是（） A．[3662222,1] B．[,1] C．[,] D．[,1] 33333
5、已知三棱锥P?ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足PA?PB?0，PB?PC?0，
PC?PA?0，则三棱锥P?ABC的侧面积的最大值为（ ）
专题4.4 立体几何中最值问题-玩转压轴题,突破140分之高三数学选填题高端精品(原卷版)
